Règle de pratique vectorielle. Vecteur vitvir vector_v
Vitvir vecteur- pseudovecteur tse, perpendiculaire au plan, pobudovanoї sur deux spіvmultiplicateurs, qui est le résultat de l'opération binaire "multiplication de vecteurs" sur des vecteurs dans l'espace euclidien trivial. Le vecteur tvir n'a pas le pouvoir de commutativité et d'associativité (є anticommutatif) i, sur vіdminu vіd création scalaire de vectorіv, є vecteur. Largement distingué par de riches ajouts techniques et physiques. Par exemple, la quantité de mouvement et la force de Lorentz sont écrites mathématiquement sous la forme d'un produit vectoriel. L'extension vectorielle du corisny pour "inverser" la perpendicularité des vecteurs est le module de la création vectorielle de deux vecteurs de l'extension supplémentaire de leurs modules, car ils sont perpendiculaires, et passe à zéro, car les vecteurs sont parallèles ou anti- parallèle.
Importance vecteur avec vêtements c'est possible d'une manière différente, et théoriquement, dans l'espace, qu'il y ait une largeur de n, vous pouvez compter n-1 vecteurs supplémentaires, en retirant de votre vecteur unique, perpendiculaire à eux tous. Mais si tvir est entouré de créations binaires non triviales avec des résultats vectoriels, alors le vecteur traditionnel tvir n'est attribué qu'aux espaces triviaux et à sept mondes. Le résultat d'une création vectorielle, comme une création scalaire, réside dans la métrique de l'espace euclidien.
D'autre part, la formule de calcul des coordonnées de l'objet scalaire vectoriel dans un système de coordonnées rectangulaires tridimensionnelles ;
Rendez-vous:
Le complément vectoriel du vecteur a au vecteur b dans l'espace R 3 est appelé le vecteur c
La longueur du vecteur c
|c|=|a||b|sinφ ;
vecteur c orthogonal au vecteur peau s a et b ;
le vecteur c des rectifications pour que la trinité des vecteurs dans abc soit droite ;
l'espace R7 a besoin de l'associativité du trio de vecteurs a, b, c.
La désignation:
c===a×b
Riz. 1. L'aire du parallélogramme est égale au module de création du vecteur
Puissance géométrique de l'art vectoriel:
La colinéarité mentale nécessaire et suffisante de deux vecteurs non nuls est l'égalité de zéro à leur création vectorielle.
Module créatif vectoriel zone dorivnyuє S parallélogramme inspiré des vecteurs réduits à l'épi unі b(Div. fig. 1).
Yakscho e- vecteur unique, vecteur orthogonal unі b et vibranium de sorte que trois un, b, e- des droits, et S- l'aire du parallélogramme induit sur eux (pointant vers l'épi), alors la formule suivante est valable pour la création du vecteur :
=S e
Fig.2. Le volume du parallélépipède avec la variation de vecteur et la création scalaire de vecteurs ; les lignes pointillées montrent les projections du vecteur c sur a × b et du vecteur a sur b × c, la première ligne est la signification des créations scalaires
Yakscho c- quel vecteur, π
- plat be-yak, vecteur scho vengeance tsey, e- un seul vecteur qui se trouve près du plan π
je suis orthogonal à c,g- seul vecteur orthogonal au plan π
et redressement de sorte que trois vecteurs ECGє à droite, alors pour quelqu'un qui se trouve sur la place π
vecteur un la bonne formule est :
=Pr e a |c|g
de Pr e a est la projection du vecteur e sur a
|c|-module du vecteur h
Lors du choix d'un vecteur et d'une création scalaire, vous pouvez utiliser le parallélépipède, inspiré des vecteurs réduits à l'épi un Bі c. Donc tvir trois vecteurs sont appelés zmishanim.
V=|a (b×c)|
Le petit montre comment cela peut se faire de deux manières : le résultat géométrique est sauvegardé lors du remplacement des créations « scalaire » et « vecteur » :
V=a×b c=a b×c
L'ampleur de la création de vecteurs doit se situer dans le sinus de la coupure entre les vecteurs primaires, alors le vecteur tvir peut être considéré comme les étapes de perpendicularité du vecteur de la même manière, comme le scalaire tvir peut être considéré comme les étapes de parallélisme. Addition vectorielle de deux vecteurs uniques à 1 (vecteur unique), ainsi que des vecteurs et perpendiculaires, et à 0 (vecteur nul), en tant que vecteurs et parallèles ou anti-parallèles.
Viraz pour la création de vecteurs en coordonnées cartésiennes
Yakscho deux vecteurs unі b assignés par leurs coordonnées cartésiennes rectangulaires, ou plutôt représentés sur une base orthonormée
a = (une x, une y, une z)
b = (b x, b y, b z)
et le système de coordonnées est correct, alors votre vecteur tvir peut ressembler
=(a y b z -a z b y ,a z b X -a X b z ,a X b y -a y b X)
Pour la mémorisation des formules ts_єї :
je = ∑ε ijk une j b k
de ε ijk- un symbole de Lévi-Chiviti.
La puissance de la création scalaire
Scalaire tvіr vectorіv, vznachennya, dominion
Opérations linéaires sur les vecteurs.
Vecteurs, concepts de base, désignations, opérations linéaires sur eux
Une paire de її points s'appelle un vecteur sur le plan, auquel cas le premier point s'appelle une oreille et l'autre extrémité - un vecteur.
Deux vecteurs sont dits égaux, car la puanteur est égale et co-dirigée.
Les vecteurs qui se trouvent sur une droite sont dits co-directionnels car ils sont co-dirigés avec un seul et même vecteur qui ne se trouve pas sur cette droite.
Les vecteurs qui se trouvent sur une ligne droite ou sur des lignes parallèles sont appelés colinéaires, et les vecteurs colinéaires qui ne sont pas co-dirigés sont appelés droits opposés.
Les vecteurs situés sur des droites perpendiculaires sont dits orthogonaux.
Nomination 5.4. sumoyu a+b vecteur_v un і b appelé un vecteur, qui va sur l'épi d'un vecteur un à la fin du vecteur b , tout comme le vecteur cob b zbіgaєtsya avec la fin du vecteur un .
Rendez-vous 5.5. Détail un B vecteur_v un і b un tel vecteur est appelé h , qui est la somme du vecteur b oui vecteur un .
Nomination 5.6. Tvoromk un vecteur un par numéro k appelé vecteur b , vecteur colinéaire un , quel est le module, égal | k||un |, ce droit, scho zbіgaєtsya s droit | un à k>0 je longueur un à k<0.
Le pouvoir de multiplier un vecteur par un nombre :
Puissance 1. k(a+b ) = k un+ k b.
Puissance 2. (k+m)un = k un+ m un.
Puissance 3. k(m un) = (km)un .
Durer. Comme les vecteurs non nuls un і b kolіnearnі, alors іsnuє tel kolіkіst k, quelle b= k un.
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls unі b le nombre (scalaire) est appelé, ce qui permet l'addition de deux vecteurs par le cosinus de la coupure φ entre eux. Le scalaire tvir peut être désigné de différentes manières, par exemple, comme un B, un · b, (un , b), (un · b). Dans cet ordre, le scalaire tvir est bon :
un · b = |un| · | b| cosφ
Si nous voulons que l'un des vecteurs atteigne zéro, alors l'addition scalaire à zéro.
Pouvoir de permutation : un · b = b · un(Le type de permutation des multiplicateurs en scalaire twir ne change pas) ;
· Le pouvoir de rozpodіlu : un · ( b · c) = (un · b) · c(Le résultat ne se situe pas dans l'ordre de multiplication);
Puissance du jour (centaines de multiplicateur scalaire): (λ un) · b = λ ( un · b).
Puissance d'orthogonalité (perpendicularité) : en tant que vecteur unі b non nuls, leur scalaire TV est égal à zéro, seulement si q vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires un à un) un ┴ b;
Puissance du carré : un · un = un 2 = |un| 2 (l'addition scalaire du vecteur lui-même est égale au carré du ème module) ;
Comment coordonner les vecteurs un=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), alors le solide scalaire est un un · b= X 1 X 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Conduction vectorielle vectorielle. Rendez-vous: Sous vecteur création de deux vecteurs et un vecteur s'entend, pour lequel :
Le module de l'aire supplémentaire du parallélogramme, inspiré de ces vecteurs, tobto. , de coupure entre les vecteurs ta
Tsey vecteur de vecteurs perpendiculaires, qui sont multipliés, tobto.
Comme les vecteurs ne sont pas colinéaires, la puanteur satisfait la droite de la trinité des vecteurs.
La puissance de la création vectorielle:
1.Lorsque vous modifiez l'ordre des multiplicateurs du vecteur TV, vous modifiez votre propre signe de retour, en sauvegardant le module, tobto.
2 .Vector square est égal à zéro-vecteur, tobto.
3 .Le multiplicateur scalaire peut être blâmé pour le symbole du vecteur créé, tobto.
4 .Pour trois vecteurs quelconques, l'égalité est juste
5 .Collinarité mentale nécessaire et suffisante de deux vecteurs et :
Vecteurs Kut mizh
Afin que nous puissions introduire le concept d'une création vectorielle de deux vecteurs, il est nécessaire de trier de tels concepts, comme un moyen de couper entre ces vecteurs.
Allez, on nous donne deux vecteurs $\overline(α)$ et $\overline(β)$. Prenons le point $O$ dans l'espace et ajoutons le vecteur $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, alors $AOB$ sera appelé la coupe entre avec des vecteurs (Fig. 1).
Signature : $∠(\overline(α),\overline(β))$
Comprendre le vecteur vecteur créatif
Rendez-vous 1
Un vecteur créé par deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs donnés, et le deuxième vecteur est plus efficace pour compléter les deux vecteurs avec le sinus du kuta entre les vecteurs donnés, et aussi le vecteur des deux épis peut avoir la même orientation, comme le système de coordonnées cartésiennes.
Significatif : $\overline(α)х\overline(β)$.
Mathématiquement, cela ressemble à ceci :
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ je $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ cependant orientation (fig. 2)
Il est évident que le vecteur tvir courant est égal au vecteur zéro dans deux directions :
- Combien de temps un ou les deux vecteurs sont-ils égaux à zéro.
- Comment couper entre ces deux vecteurs égaux à $180^\circ$ ou $0^\circ$ (échelles dans lesquelles le sinus est égal à zéro).
Sob en premier lieu, comment connaître le vecteur tvir vektorіv, regardez le point ci-dessous, appliquez la solution.
fesses 1
Trouver la valeur du vecteur $\overline(δ)$, qui sera le résultat de la création vectorielle de vecteurs, de coordonnées $\overline(α)=(0,4,0)$ et $\overline(β) =(3,0,0 ) $.
Solution.
Visualisons les vecteurs q et y dans l'espace de coordonnées cartésiennes (Fig. 3) :
Figure 3. Vecteurs dans l'espace de coordonnées cartésiennes. Author24 - Échange Internet de travaux d'étudiants
Bachimo, que les vecteurs qi se situent clairement sur les axes $Ox$ et $Oy$. Otzhe, peut-être qu'ils dovnyuvatime 90 $ ^ \ circ $. Nous connaissons ces vecteurs :
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Ensuite, pour le devoir 1, on prend le module $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Suggestion : 12 $.
Calcul de la création vectorielle pour les coordonnées des vecteurs
Z vyznachennya 1 vіdrazu vіplyvaє sposіb znakhodzhennya création de vecteurs pour deux vecteurs. Vecteur Oskіlki, krіm znachlennya, maє shche th directement, il est impossible de le connaître uniquement pour une quantité scalaire supplémentaire. Ale krіm new іsnuіє sposіb znakhodzhennya pour les coordonnées supplémentaires qui nous sont données vectorіv.
Donnons-nous des vecteurs $\overline(α)$ i $\overline(β)$, pour pouvoir calculer les coordonnées $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, évidemment. Le même vecteur de création de vecteur (et ses propres coordonnées) peut être connu par la formule suivante :
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Sinon, rozkrivayuchi vyznachnik, prenez ces coordonnées
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
fesses 2
Trouver le vecteur de la création vectorielle des vecteurs colinéaires $\overline(α)$ et $\overline(β)$ de coordonnées $(0,3,3)$ et $(-1,2,6)$.
Solution.
Accélérer avec une formule qui a été induite plus haut. À emporter
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Valeur : $ (12,-3,3) $.
La puissance du vecteur vecteur créatif
Pour plus de trois décalages dans $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$, et aussi $r∈R$, la puissance d'avance est juste :
fesses 3
Trouver l'aire du parallélogramme dont les sommets sont les coordonnées $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ et $(3,8 ,0)$.
Solution.
L'arrière de la tête est représenté par un parallélogramme à l'espace de coordonnées (Fig. 5) :
Figure 5. Parallélogramme à l'espace de coordonnées. Author24 - Échange Internet de travaux d'étudiants
Bachimo, que les deux côtés de ce parallélogramme ont été inspirés par des vecteurs colinéaires supplémentaires de coordonnées $\overline(α)=(3,0,0)$ et $\overline(β)=(0,8,0)$. Vikoristovuyuchi quatrième puissance, otrimaemo :
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
On connaît le vecteur $\overline(α)х\overline(β)$ :
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Otzhe
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ZMISHANY VIROB TROCH VECTORIV ET YOGO POWER
Zmishanim créatif trois vecteurs nomment le nombre qui est bon. être nommé 
. Ici, les deux premiers vecteurs sont multipliés vectoriellement, puis le vecteur de soustraction est multiplié scalairement par le troisième vecteur. De toute évidence, un tel téléviseur est un sprat.
Regardons la puissance de la création mixte.
- sens géométrique création folle. Zmіshane tvir 3 vecteurs avec précision jusqu'au signe de l'accord du parallélépipède, induit par ces vecteurs, comme au niveau des côtes, tobto. .
D'une telle manière,
.
preuve. Vіdklademo vektori a vu zagalnogo cob et pobuduєmo sur eux paralepipède. Significativement et respectueusement, scho. Aux fins de la création scalaire
Laisser passer ce que je sais h la hauteur du parallélépipède, on la connaît.
De telle manière, à
Eh bien, alors th. Père, .
Ob'ednuyuchi insultes et vipadki, otrimuєmo non plus.
Z confirmation de la qualité du zokrem est viplivay, que le troisième vecteur a raison, puis zmishane tvir, et yakshcho - leva, alors.
- Pour tous les vecteurs , , l'égalité est juste
La preuve du pouvoir de l'autorité est évidente à partir de l'autorité 1. Certes, il est facile de le montrer. Jusque-là, les signes "+" et "-" sont pris en même temps, car kuti mizh vectors ta en une heure gostrі ou stupide.
- Lors de la réorganisation, s'il y a deux spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr changer le signe.
C'est vrai, comme si on pouvait regarder la confusion de la télé, alors, par exemple, ou
- Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki in, si сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє zéro sur les vecteurs sont coplanaires.
preuve.
Y compris, la coplanarité mentale nécessaire et suffisante de 3 vecteurs et l'égalité à zéro de leur création mixte. De plus, il est évident que trois vecteurs établissent une base pour l'espace, par exemple.
En plus des vecteurs et des tâches sous forme de coordonnées, il est possible de montrer que ces changements sont connus par la formule :
.Ainsi, zmіshane tvіr dоrіvnyuє vyznachnik du troisième ordre, qui a les coordonnées du premier vecteur dans la première rangée, les coordonnées d'un autre vecteur dans l'autre rangée et les coordonnées du troisième vecteur dans la troisième rangée.
appliquer.
GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE
Rivnyannia F(x, y, z)= 0 est attribué à l'espace Oxyz surface deaku, tobto. point de lieu géométrique dont les coordonnées x, y, z satisfaire celui qui est jaloux. La ligne est dite égale à la surface, et x, y, z- coordonnées actuelles.
Cependant, souvent la surface n'est pas demandée par des égaux, mais comme un point impersonnel de l'espace, qui peut avoir cet autre pouvoir. Et ici, il faut connaître l'équivalence de la surface, à partir de її puissances géométriques.
RÉGION.
VECTEUR DE ZONE NORMALE.
MISE À NIVEAU DU PLAN POUR PASSER PAR UN POINT DONNÉ
Regardons l'étendue d'une grande surface σ. La position dépend du vecteur donné perpendiculaire au plan donné, ce point fixe M0(x0, y 0, z0) proche du plan σ.
Le vecteur perpendiculaire au plan σ est appelé Ordinaire zone vectorielle qієї. Laissez le vecteur avoir des coordonnées.
On voit que le plan σ est égal à passer par le point qi M0 et peut être un vecteur normal. Pour laquelle on prend sur le plan σ un point suffisant M(x, y, z) je regarde le vecteur.
Pour n'importe quel point M vecteur σ La jalousie de Tsya est l'esprit du point MО σ. Il est juste pour tous les points du plan et se décompose, comme un seul point M pose inclinée en arrière avec un plan σ.
Comment savoir à travers le rayon-vecteur d'un point M, est le rayon vecteur du point M0, alors l'égalité peut être enregistrée en un coup d'œil
Tse égal s'appelle vecteurégal à l'aire. Écrivons yoga sous la forme coordonnée. Oscilki, alors
Otzhe, nous avons enlevé la planéité de la zone, pour passer ce point. De cette façon, afin de plier la planéité du plan, il est nécessaire de connaître les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point deux qui se trouvent sur le plan.
Respectueusement, que le plan est égal à l'égal du 1er étage des coordonnées du flux x, yі z.
appliquer.
AVION ZAGALNE RIVNYANNYA
Pouvez-vous montrer à quel point la première étape est égale aux coordonnées cartésiennes x, y, zє égal à la zone deykoї. Le prix est enregistré comme suit :
Hache+Par+Cz+D=0
et s'appelle sauvage jaloux avions, et les coordonnées A, B, C voici les coordonnées du vecteur normal de la zone.
Regardons les environs de la jalousie scandaleuse. Bien entendu, comme le plan du repère est agrandi, cela signifie que l'un ou l'autre des coefficients d'alignement est ajusté à zéro.
A - le noyau de la vіdrіzka, qui est vu par le plan sur l'axe Bœuf. De même, on peut montrer que bі c- Dovzhini vіdrіzkіv, scho vіdsіkayutsya à plat sur les axes, scho à voir. Aieі onces.
Les appartements Rivnyannyam aux brise-vent sont pratiques à brûler pour élever les appartements.
