Vektor amaliyoti qoidasi. Vektor vitvir vektor_v
Vektor vitvir- tse pseudovector, tekislikka perpendikulyar, ikki spívmultipliers ustida pobudovanoí̈, bu arzimas Evklid fazosidagi vektorlar ustidan "vektorlarni ko'paytirish" ikkilik operatsiyasining natijasidir. Vektor tvir kommutativlik va assotsiativlik kuchiga ega emas (ê antikommutativ) i, vídminu víd vektorív ning skalar yaratish, ê vektor. Boy texnik va jismoniy qo'shimchalarda keng ajralib turadi. Masalan, impuls va Lorents kuchi matematik tarzda vektor mahsuloti sifatida yoziladi. Vektorlarning perpendikulyarligini "teskari o'zgartirish" uchun korisnyning vektor kengaytmasi, ularning modullarining qo'shimcha kengaytmasining ikkita vektorini vektor yaratish moduli, chunki ular perpendikulyar bo'lib, vektorlar parallel yoki qarshi bo'lganligi sababli nolga o'zgaradi. parallel.
Ahamiyati vektorli ayollar kiyimlari bu boshqacha yo'l bilan mumkin va nazariy jihatdan fazoda n ning kengligi bo'ladimi, siz bitta vektoringizdan ularning barchasiga perpendikulyar bo'lgan qo'shimcha n-1 vektorlarini hisoblashingiz mumkin. Ammo agar tvir vektor natijalariga ega bo'lgan noan'anaviy ikkilik yaratilishlar bilan o'ralgan bo'lsa, unda an'anaviy vektor tvir faqat trivial va etti dunyo bo'shliqlariga tayinlanadi. Skalar kabi vektor yaratish natijasi Evklid fazoviy metrikasida yotadi.
Boshqa tomondan, uch o'lchamli to'rtburchaklar koordinatalar tizimida vektor skaler ob'ektining koordinatalarini hisoblash formulasi;
Uchrashuv:
R 3 fazodagi a vektorning b vektorga vektor to'ldiruvchisi c vektor deyiladi
Vektor uzunligi c
|c|=|a||b|sin ph;
vektor c teri vektoriga ortogonal s a va b;
abc dagi vektorlarning uchligi to'g'ri bo'lishi uchun rektifikatsiyalarning c vektori;
R7 fazoga a, b, c vektorlar uchligining assotsiativligi kerak.
Belgilash:
c===a×b
Guruch. 1. Paralelogrammaning maydoni vektor yaratish moduliga teng
Vektor san'atining geometrik kuchi:
Ikki nolga teng bo'lmagan vektorning zaruriy va etarli aqliy kolinearligi ularning vektor yaratilishiga nolga tengligidir.
Vektor ijodiy moduli dorivnyuê maydoni S kobga qisqartirilgan vektorlardan ilhomlangan parallelogramma aі b(1-rasm).
Yakscho e- bitta vektor, ortogonal vektor aі b va vibranium, shuning uchun uchta a,b,e- huquqlar va S- ularda induktsiya qilingan parallelogrammning maydoni (kobga ishora qiladi), u holda vektor yaratish uchun quyidagi formula amal qiladi:
=S e
2-rasm. Vektorlarning o'zgarishi va vektorlarning skalyar yaratilishi bilan parallelepipedning hajmi; nuqtali chiziqlar c vektorining a × b va a vektorining b × c dagi proyeksiyalarini ko'rsatadi, birinchi qator skalar yaratilishlarning ahamiyati.
Yakscho c- qaysi vektor, π
- be-yak flat, scho intiqom tsey vektori, e- samolyot yaqinida joylashgan bitta vektor π
ga ortogonal c,g- tekislikka ortogonal yagona vektor π
va to'g'rilash shunday uchta vektor ekgê to'g'ri, keyin maydonda yotgan kishi uchun π
vektor a to'g'ri formula:
=Pr e a |c|g
de Pr e a - e vektorning a ga proyeksiyasi
|c|-h vektorining moduli
Vektor va skalyar yaratishni tanlashda siz kobga qisqartirilgan vektorlardan ilhomlangan parallelepipeddan foydalanishingiz mumkin. a, bі c. Shunday qilib, tvir uchta vektor zmishanim deb ataladi.
V=|a (b×c)|
Kichkintoy buni ikki yo'l bilan qanday amalga oshirish mumkinligini ko'rsatadi: geometrik natija "skalar" va "vektor" yaratilishlarini almashtirishda saqlanadi:
V=a×b c=a b×c
Vektor yaratishning kattaligi birlamchi vektorlar orasidagi kesmaning sinusida yotadi, keyin vektor tvir vektor perpendikulyarlik qadamlari sifatida xuddi shu tarzda, skaler tvir qadamlari sifatida ko'rish mumkin. parallelizm. 1 (bitta vektor), shuningdek vektorlar va perpendikulyar va 0 (nol vektor) sifatida vektorlar va parallel yoki antiparallel sifatida ikkita yagona vektorni vektorli qo'shilishi.
Dekart koordinatalarida vektor yaratish uchun Viraz
Yakscho ikkita vektor aі b ularning to'rtburchaklar dekart koordinatalari bilan tayinlangan, aniqrog'i ortonormal asosda ifodalangan
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
va koordinatalar tizimi to'g'ri bo'lsa, sizning vektor tviringiz ko'rinishi mumkin
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
ts_êí formulalarini yodlash uchun:
i = ∑e ijk a j b k
de e ijk- Levi-Chiviti ramzi.
Skalar yaratilish kuchi
Skalar tvyr vektoryv, vznachennya, hukmronlik
Vektorlar ustida chiziqli amallar.
Vektorlar, asosiy tushunchalar, belgilashlar, ular ustida chiziqli amallar
Bir juft її nuqta tekislikdagi vektor deb ataladi, bu holda birinchi nuqta quloq, ikkinchi uchi esa vektor deb ataladi.
Ikki vektor teng deb ataladi, chunki hid teng va birgalikda yo'naltirilgan.
Bir to'g'ri chiziqda yotuvchi vektorlar ko'p yo'nalishli deyiladi, chunki ular shu to'g'ri chiziqda yotmaydigan bir xil vektor bilan birgalikda yo'naltiriladi.
Bir to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear, birgalikda yo'naltirilmagan kollinear vektorlar esa qarama-qarshi to'g'ri deb ataladi.
Perpendikulyar chiziqlarda yotuvchi vektorlar ortogonal deyiladi.
Uchrashuv 5.4. sumoyu a+b vektor_v a і b vektor deb ataladi, u vektorning boshiga tushadi lekin vektorning oxirida b , xuddi kob vektori kabi b vektorning oxiri bilan zbígaêtsya lekin .
Uchrashuv 5.5. Chakana savdo a - b vektor_v lekin і b bunday vektor deyiladi h , bu vektorning yig'indisi b ha vektor lekin .
Uchrashuv 5.6. Tvoromk a vektor lekin raqam uchun k vektor deb ataladi b , kollinear vektor lekin , modul nima, teng | k||a |, bu to'g'ri, scho zbígaêtsya s to'g'ri | lekin da k>0 i uzunligi lekin da k<0.
Vektorni raqamga ko'paytirish kuchi:
Quvvat 1. k(a+b ) = k a+ k b.
Quvvat 2. (k+m)a = k a+ m a.
Quvvat 3. k(m a) = (km)a .
Oxirgi. Nolga teng bo'lmagan vektorlar kabi lekin і b kolínearny, keyin ísnuê bunday kolíkíst k, nima b= k a.
Ikki nolga teng bo'lmagan vektorning skalyar ko'paytmasi aі b son (skalar) chaqiriladi, bu ikki vektorni ular orasidagi kesma ph kosinusiga qo'shish imkonini beradi. Skalar tvir turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin, masalan, kabi ab, a · b, (a , b), (a · b). Ushbu tartibda skalyar tvir yaxshi:
a · b = |a| · | b| cos ph
Agar vektorlardan biri nolga yetishini istasak, u holda skaler qo'shilishi nolga teng.
O'zgartirish kuchi: a · b = b · a(Skalar twirda ko'paytiruvchilarni almashtirish turi o'zgarmaydi);
· Rozpodilu kuchi: a · ( b · c) = (a · b) · c(Natija ko'paytirish tartibida yotmaydi);
Kunning kuchi (yuzlab skalar multiplikator): (l a) · b = λ ( a · b).
Ortogonallik kuchi (perpendikulyarlik): vektor sifatida aі b nolga teng bo'lmagan, ularning skalyar tvirlari nolga teng, faqat q vektor ortogonal bo'lsa (birga perpendikulyar) a ┴ b;
Kvadratning kuchi: a · a = a 2 = |a| 2 (vektorning skaler qo'shilishi th modulning kvadratiga teng);
Vektorlarni qanday muvofiqlashtirish kerak a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), u holda skalar qattiq jism bitta boʻladi a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vektor vektor o'tkazuvchanligi. Uchrashuv: Vektor ostida ikkita vektor va vektorni yaratish tushuniladi, buning uchun:
Ushbu vektorlardan ilhomlangan parallelogrammaning qo'shimcha maydoni moduli tobto. , de vektorlar orasidagi kesma ta
Ko'paytiriladigan perpendikulyar vektorlarning Tsey vektori, tobto.
Vektorlar kollinear bo'lmaganligi sababli, hid vektorlar uchligi huquqini qondiradi.
Vektor yaratish kuchi:
1.Vektorli televizorning ko'paytiruvchilari tartibini o'zgartirganda, siz modulni, tobtoni saqlab, qaytishning o'z belgisini o'zgartirasiz.
2 .Vektor kvadrati nolga teng vektor, tobto.
3 .Skayar multiplikatorni vektor yaratish belgisi uchun ayblash mumkin, tobto.
4 .Har qanday uchta vektor uchun tenglik adolatli
5 .Ikki vektorning zaruriy va yetarli aql kollinarligi va:
Kut mizh vektorlari
Ikki vektorning vektor yaratish kontseptsiyasini kiritishimiz uchun bu vektorlarni kesish usuli sifatida bunday tushunchalarni saralash kerak.
Keling, bizga ikkita vektor berilgan $\overline(a)$ va $\overline(b)$. $O$ nuqtasini fazoda olib, $\overline(a)=\overline(OA)$ i $\overline(b)=\overline(OB)$ vektorini qo'shamiz, keyin $AOB$ kesma deyiladi. vektorlar bilan o'rtasida (1-rasm).
Imzo: $∠(\overline(a),\overline(b))$
Vektor ijodiy vektorini tushunish
Uchrashuv 1
Ikki vektor tomonidan yaratilgan vektor berilgan ikkala vektorga perpendikulyar bo'lgan vektor, ikkinchi vektor esa berilgan vektorlar orasiga kuta sinusi bo'lgan ikkita vektorning yanada samarali qo'shilishi va ikkita kob vektori ham bor. Dekart koordinata tizimi kabi bir xil yo'nalish.
Muhim: $\overline(a)x\overline(b)$.
Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi:
- $|\overline(a)x\overline(b)|=|\overline(a)||\overline(b)|sin∠(\overline(a),\overline(b))$
- $\overline(a)x\overline(b)⊥\overline(a)$, $\overline(a)x\overline(b)⊥\overline(b)$
- $(\overline(a)x\overline(b),\overline(a),\overline(b))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ ammo orientatsiya (2-rasm)
Ko'rinib turibdiki, joriy tvir vektori ikki yo'nalishda nol vektorga teng:
- Bir yoki ikkala vektor qancha vaqt nolga teng.
- $180^\circ$ yoki $0^\circ$ ga teng bu ikki vektor o'rtasida qanday kesish mumkin (qaysi yo'nalishdagi sinus nolga teng bo'lgan shkala).
Sob birinchi navbatda, vektor tvir vektorív qanday bilish, quyidagi nuqtaga qarang, yechim qo'llash.
dumba 1
$\overline(d)$ vektorining $\overline(a)=(0,4,0)$ va $\overline(b) koordinatalari boʻlgan vektorlarni yaratish natijasi boʻladigan vektor qiymatini toping. =(3,0,0) $.
Yechim.
Dekart koordinata fazosida q vektor va y ni tasavvur qilaylik (3-rasm):
3-rasm. Dekart koordinata fazosidagi vektorlar. Muallif24 - Internetda talabalar ishlarini almashish
Bachimo, qi vektorlari $Ox$ va $Oy$ o'qlarida aniq yotadi. Otzhe, kut mízh ularni dovnyuvatime $90^\circ$. Biz ushbu vektorlar haqida bilamiz:
$|\overline(a)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(b)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Keyin 1-topshiriq uchun $|\overline(d)|$ modulini olamiz
$|\overline(d)|=|\overline(a)||\overline(b)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Taklif: $12$.
Vektorlar koordinatalari uchun vektor yaratishni hisoblash
Z vyznachennya 1 vydrazu víplyvaê ikki vektorív uchun sposíb znakhodzhennya vektor yaratish. Oskílki vektor, krym znachlennya, maê shche th to'g'ridan-to'g'ri, uni faqat qo'shimcha skalyar miqdor uchun bilish mumkin emas. Ale krym yangi ísnuíê sposíb znakhodzhennya bizga vektorív berilgan qo'shimcha koordinatalar uchun.
Bizga $\overline(a)$ i $\overline(b)$ vektorlarini beraylik, shunda $(a_1,a_2,a_3)$ i $(b_1,b_2,b_3)$ koordinatalarini hisoblay olamiz. Vektor yaratishning bir xil vektorini (va uning koordinatalarini) quyidagi formula bilan bilish mumkin:
$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end(vmatrix)$
Aks holda, rozkrivayuchi vyznachnik, bunday koordinatalarni oling
$\overline(a)x\overline(b)=(a_2 b_3-a_3 b_2,a_3 b_1-a_1 b_3,a_1 b_2-a_2 b_1)$
dumba 2
$(0,3,3)$ va $(-1,2,6)$ koordinatali $\overline(a)$ va $\overline(b)$ kollinear vektorlarini vektor yaratish vektorini toping.
Yechim.
Yuqori induktsiya qilingan formula bilan tezlashtirish. Olib ketish
$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Qiymat: $ (12,-3,3) $.
Vektor ijodiy vektorining kuchi
$\overline(a)$, $\overline(b)$ í $\overline(g)$ va shuningdek $r∈R$ da uchdan ortiq siljishlar uchun oldinga siljish adolatli hisoblanadi:
dumba 3
Cho'qqilari $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ va $(3,8) koordinatalari bo'lgan parallelogrammning maydonini toping. ,0)$.
Yechim.
Boshning orqa tomoni koordinata bo'shlig'ida parallelogramm bilan ifodalanadi (5-rasm):
5-rasm. Koordinata fazodagi paralelogramma. Muallif24 - Internetda talabalar ishlarini almashish
Bachimo, bu parallelogrammning ikki tomoni $\overline(a)=(3,0,0)$ va $\overline(b)=(0,8,0)$ koordinatalari bo'lgan qo'shimcha kollinear vektorlardan ilhomlanganligini aytdi. Vikoristovuyuchi to'rtinchi kuch, otrimaemo:
$S=|\overline(a)x\overline(b)|$
Biz $\overline(a)x\overline(b)$ vektorini bilamiz:
$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Otzhe
$S=|\overline(a)x\overline(b)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ZMISHANY VIROB TROCH VECTORIV VA YOGO POWER
Zmishanim ijodiy uchta vektor yaxshi sonni nomlaydi. tayinlansin 
. Bu erda birinchi ikkita vektor vektoriy ko'paytiriladi va keyin ayirish vektori uchinchi vektor bilan skaler ravishda ko'paytiriladi. Shubhasiz, bunday televizor spratdir.
Keling, aralash ijodning kuchini ko'rib chiqaylik.
- geometrik ma'no aqldan ozgan ijod. Zmishane tvir 3 vektor eski obyagu paralepiped belgisigacha aniqlik bilan, bu vektorlar tomonidan qo'zg'atilgan, qovurg'alar, tobto kabi. .
Shu tarzda,
.
dalil. Vídklademo vektori víd zagalnogo boshoq va pobuduêmo ularga paralepiped. Muhim va hurmat bilan, scho. Skayar yaratish maqsadida
Men bilganlarimga ruxsat berish h parallelepipedning balandligi, biz bilamiz.
Shu tarzda, at
Xo'sh, keyin th. Ota,.
Ob'ednuyuchi haqorat va vipadki, otrimuyemo ham.
Zokrem sifatini Z tasdiqlash viplivay, uchinchi vektor to'g'ri, keyin zmishane tvir va yakshcho - leva, keyin.
- Har qanday vektor uchun , , tenglik adolatli
Hokimiyatning qudratining isboti hokimiyatdan ko'rinadi 1. To'g'ri, buni ko'rsatish oson. Ungacha "+" va "-" belgilari bir vaqtning o'zida olinadi, chunki kuti mizh vektorlari ta í bir soat gostrí yoki ahmoq.
- Qayta tashkil qilishda, ikkita spívmulnív zmíshaní tvír bor yoki yo'qligini belgini o'zgartiring.
To'g'ri, biz televizorning chalkashligini ko'rishimiz mumkin, keyin, masalan, yoki
- Zmyshany tvir tylki tylki tylki i, agar iz spivmínnykiv dorivnyuê nol abo vektorlar koplanar bo'lsa.
dalil.
Jumladan, 3 vektorning zaruriy va etarli aqliy mutanosibligi va ularning aralash yaratilishining nolga tengligi. Bundan tashqari, uchta vektor, masalan, fazo uchun asos yaratishi aniq.
Koordinata shaklidagi vektorlar va vazifalar bilan bir qatorda, bu o'zgarishlarning ma'lum ekanligini quyidagi formula bilan ko'rsatish mumkin:
.Shunday qilib, birinchi qatordagi birinchi vektorning koordinatalariga, boshqa qatordagi boshqa vektorning koordinatalariga va uchinchi qatordagi uchinchi vektorning koordinatalariga ega bo'lgan uchinchi tartibli zmíshane tvír dorívnyuê vyznachnik.
murojaat qiling.
Kosmosdagi ANALITIK GENEOMETRIYA
Rivnyanniya F(x, y, z)= 0 bo'sh joyga tayinlangan Oxyz deaku yuzasi, tobto. geometrik joy nuqtasi, koordinatalari x, y, z kim hasad qilsa, qanoatlantiring. Chiziq sirtga teng deb ataladi va x, y, z- joriy koordinatalar.
Biroq, ko'pincha sirt tenglar tomonidan emas, balki boshqa kuchga ega bo'lishi mumkin bo'lgan kosmosning shaxssiz nuqtasi sifatida so'raladi. Va bu erda sirtning ekvivalentligini bilish kerak, bu geometrik kuchlardan.
MUDDAT.
NORMAL HUDON VEKTORI.
BERILGAN NOKTADAN O'TISH UCHUN SAVOLOTNI NIVAZLASH
Katta maydonning kengligini ko'rib chiqamiz s. Lavozim berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan berilgan vektorga, o'sha qo'zg'almas nuqtaga bog'liq M0(x0, y 0, z0) tekislikka yaqin joylashgan s.
s tekislikka perpendikulyar vektor deyiladi normal vektor qíêí maydoni. Vektorning koordinatalari bo'lsin.
Biz s tekislik qi nuqtasidan o'tishga teng ekanligini ko'rishimiz mumkin M0 va normal vektor bo'lishi mumkin. Buning uchun biz tekislikda s etarli nuqtani olamiz M(x, y, z) Men vektorga qarayman.
Har qanday nuqta uchun M O s vektor Tsya rashk - bu fikrning aqli M O s. Bu tekislikdagi barcha nuqtalar uchun adolatli va faqat nuqta kabi buziladi M samolyot bilan orqaga suyanib turish s.
Nuqta radius-vektori orqali qanday bilish mumkin M, nuqtaning radius vektori M0, keyin th teng bir qarashda yozilishi mumkin
Tse teng deyiladi vektor maydoniga teng. Keling, koordinata shaklida yoga yozamiz. Oscilki, keyin
Otzhe, biz bu nuqtadan o'tish uchun, maydonning tekisligini olib tashladik. Shunday qilib, tekislikning tekisligini katlama qilish uchun oddiy vektorning koordinatalarini va tekislikda yotgan ikkilanish nuqtasining koordinatalarini bilish kerak.
Hurmat bilan, tekislik oqim koordinatalarining 1-bosqichiga teng bo'ladi x, yі z.
murojaat qiling.
ZAGALNE RIVNYANNYA SAVOLI
Birinchi qadam Dekart koordinatalariga qanchalik teng ekanligini ko'rsata olasizmi? x, y, zê deykoí maydoniga teng. Narx quyidagicha qayd etiladi:
Ax+By+Cz+D=0
va deyiladi yovvoyi hasadgo'y tekisliklar va koordinatalar A, B, C bu yerda maydonning normal vektorining koordinatalari.
Keling, haddan tashqari rashkning atrofini ko'rib chiqaylik. Albatta, koordinatalar tizimining maydoni kengaytirilganda, bu bir yoki boshqa koeffitsientlar nolga tenglashtirilganligini anglatadi.
A - eksa ustidagi samolyot tomonidan ko'rinadigan vydrízka yadrosi ho'kiz. Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin bі c- Dovzhini vydrízkív, scho vydsíkayutsya boltalarda tekis, ko'rish uchun scho. Ouchі Oz.
Shamol to'siqlaridagi Rivnyannyam kvartiralari kvartiralarni ko'tarish uchun kuyish uchun qulaydir.
