Правило на векторната практика. Вектор vitvir vector_v
Вектор vitvir- tse псевдовектор, перпендикулярен на равнината, pobudovanoї на два spіv умножителя, което е резултат от двоичната операция "умножение на вектори" върху вектори в тривиалното евклидово пространство. Векторът tvir няма силата на комутативност и асоциативност (є антикомутативен) i, на vіdminu vіd скаларно създаване на vectorіv, є вектор. Широко се отличава с богати технически и физически допълнения. Например, импулсът и силата на Лоренц се записват математически като векторно произведение. Векторното разширение на corisny за "обръщане" на перпендикулярността на векторите е модулът на векторното създаване на два вектора на допълнителното разширение на техните модули, тъй като те са перпендикулярни, и се променя на нула, тъй като векторите са успоредни или анти- успоредно.
Значение векторни дрехивъзможно е по различен начин и теоретично в пространството, независимо дали има ширина от n, можете да преброите допълнителни n-1 вектори, отнемащи от вашия единичен вектор, перпендикулярно на всички тях. Но ако tvir е заобиколен от нетривиални бинарни творения с векторни резултати, тогава традиционният вектор tvir се приписва само на тривиалните и седемсветовните пространства. Резултатът от създаването на вектор, подобно на скаларен, се намира в метриката на Евклидовото пространство.
От друга страна, формулата за изчисляване на координатите на векторния скаларен обект в триизмерна правоъгълна координатна система;
Назначаване:
Векторното допълнение на вектора a към вектора b в пространството R3 се нарича вектор c
Дължината на вектора c
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c, ортогонален на скин вектор s a и b;
вектора c на ректификациите, така че триединството на векторите в abc е правилно;
пространството R7 се нуждае от асоциативността на триото вектори a, b, c.
Обозначаване:
c===a×b
Ориз. 1. Площта на паралелограма е равна на модула за създаване на вектор
Геометрична сила на векторното изкуство:
Необходимата и достатъчна мисловна колинеарност на два ненулеви вектора е равенство на нула спрямо тяхното векторно създаване.
Вектор творчески модул dorivnyuє площ Спаралелограм, вдъхновен от вектори, редуцирани до кочана аі б(Раздел фиг. 1).
Yakscho д- единичен вектор, ортогонален вектор аі би вибраниум, така че три а, б, д- права и С- площта на паралелограма, индуцирана върху тях (сочи към кочана), тогава следната формула е валидна за създаване на вектор:
=S e
Фиг.2. Обемът на паралелепипеда с вариацията на вектора и скаларното създаване на вектори; пунктираните линии показват проекциите на вектора c върху a × b и вектора a върху b × c, първият ред е значението на скаларните творения
Yakscho ° С- кой вектор, π
- be-yak flat, scho vengeance tsey vector, д- единичен вектор, който лежи близо до равнината π
аз ортогонален на c,g- единичен вектор, ортогонален на равнината π
и изправяне така, че три вектора екге правилно, тогава за някой, който лежи на площада π
вектор аправилната формула е:
=Pr e a |c|g
de Pr e a е проекцията на вектора e върху a
|c|-модул на вектора h
Когато избирате вектор и скаларно творение, можете да използвате паралелепипеда, вдъхновен от векторите, намалени до кочана а, бі ° С. Така че tvir три вектора се наричат zmishanim.
V=|a (b×c)|
Малкият показва как това може да стане по два начина: геометричният резултат се запазва при замяна на „скаларните“ и „векторните“ творения:
V=a×b c=a b×c
Големината на създаването на вектора да лежи в синуса на разреза между първичните вектори, тогава векторът tvir може да се приеме като стъпки на перпендикулярност на вектора по същия начин, както скаларният tvir може да се види като стъпките на паралелизъм. Векторно добавяне на два единични вектора към 1 (единичен вектор), както и вектори и перпендикулярни, и като 0 (нулев вектор), като вектори и паралелни или антипаралелни.
Вираз за създаване на вектори в декартови координати
Yakscho два вектора аі бопределени от техните правоъгълни декартови координати, или по-скоро, представени в ортонормирана основа
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
и координатната система е правилна, тогава вашият вектор tvir може да изглежда
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
За запаметяване на ts_єї формули:
i = ∑ε ijk a j b k
де ε ijk- символ на Леви-Кивити.
Силата на скаларното творение
Скаларен tvіr vectorіv, vznachennya, dominion
Линейни операции върху вектори.
Вектори, основни понятия, обозначения, линейни операции върху тях
Двойка її точки се нарича вектор на равнината, като в този случай първата точка се нарича ухо, а другият край - вектор.
Два вектора се наричат равни, тъй като вонята е еднаква и съвместно насочена.
Векторите, които лежат на една права линия, се наричат ко-насочени, тъй като са ко-насочени с един и същ вектор, който не лежи на тази права линия.
Вектори, които лежат на една права линия или на успоредни, се наричат колинеарни, а колинеарни вектори, които не са съвместно насочени, се наричат противоположно-прави.
Векторите, които лежат върху перпендикулярни прави, се наричат ортогонални.
Назначаване 5.4. сумою а+б вектор_v а і б наречен вектор, който върви върху кочана на вектор а в края на вектора б , точно като вектора на кочана б zbіgaєtsya с края на вектора а .
Назначаване 5.5. На дребно а - б вектор_v а і б такъв вектор се нарича з , което е сумата от вектора б да вектор а .
Назначаване 5.6. Tvoromк а вектор а на брой кнаречен вектор б , колинеарен вектор а , какъв е модулът, равен | к||а |, че права, scho zbіgaєtsya s права | а в к>0 i дължина а в к<0.
Силата на умножаване на вектор по число:
Мощност 1. k(а+б ) = k а+ k б.
Мощност 2. (k+m)а = k а+ m а.
Мощност 3. k(m а) = (км)а .
Последно. Като ненулеви вектори а і б kolіnearnі, то іsnuє такъв kolіkіst к, Какво b= к а.
Скаларното произведение на два ненулеви вектора аі бчислото (скаларно) се извиква, което позволява добавянето на два вектора по косинуса на разреза φ между тях. Скаларният tvir може да бъде обозначен по различни начини, например като аб, а · б, (а , б), (а · б). В този ред скаларният tvir е добър:
а · б = |а| · | б| cos φ
Ако искаме един от векторите да достигне нула, тогава скаларното събиране е нула.
Сила на пермутация: а · б = б · а(Видът на пермутация на множителите в скаларен twir не се променя);
· Силата на rozpodіlu: а · ( б · ° С) = (а · б) · ° С(Резултатът не е в реда на умножение);
Мощност на деня (стотици скаларен множител): (λ а) · б = λ ( а · б).
Сила на ортогоналност (перпендикулярност): като вектор аі бразлични от нула, тяхната скаларна TV е равна на нула, само ако q вектори са ортогонални (перпендикулярни едно към едно) а ┴ б;
Сила на квадрата: а · а = а 2 = |а| 2 (скаларното събиране на самия вектор е равно на квадрата на ти модул);
Как да координираме вектори а=(x 1 , y 1 , z 1 ) б=(x 2 , y 2 , z 2 ), тогава скаларното твърдо тяло е едно а · б= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Векторна векторна проводимост. Назначаване: Под вектор се разбира създаването на два вектора и вектор, за които:
Модулът на допълнителната площ на паралелограма, вдъхновен от тези вектори, tobto. , разрязване между вектори ta
Tsey вектор на перпендикулярни вектори, които се умножават, tobto.
Тъй като векторите не са колинеарни, вонята отговаря на правото на триединството на векторите.
Силата на създаването на вектор:
1.При промяна на реда на множителите на векторния телевизор, вие сменяте собствен знак за връщане, запазвайки модула, tobto.
2 .Векторният квадрат е равен на нулев вектор, tobto.
3 .Скаларният множител може да бъде обвинен за символа на вектора create, tobto.
4 .За всеки три вектора равенството е справедливо
5 .Необходима и достатъчна съвпадение на ума на два вектора и:
Кут миж вектори
За да можем да въведем концепцията за векторното създаване на два вектора, е необходимо да подредим тези понятия, като начин за разрязване между тези вектори.
Хайде, дадени са ни два вектора $\overline(α)$ и $\overline(β)$. Нека вземем точката $O$ в пространството и добавим вектора $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, тогава $AOB$ ще се нарича разрез между с вектори (фиг. 1).
Подпис: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Разбиране на векторния творчески вектор
Назначаване 1
Вектор, създаден от два вектора, е вектор, който е перпендикулярен на двата дадени вектора, а вторият вектор е по-ефективен да допълва двата вектора със синуса на кутата между дадените вектори, а също така векторът на двата кочана може да има същата ориентация, като декартовата координатна система.
Значително: $\overline(α)х\overline(β)$.
Математически изглежда така:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ обаче ориентация (фиг. 2)
Очевидно е, че текущият вектор на tvir е равен на нулевия вектор в две посоки:
- Колко дълго един или и двата вектора са равни на нула.
- Как да изрежете между тези два вектора, равни на $180^\circ$ или $0^\circ$ (скали, в която посока синусът е равен на нула).
На първо място, как да разберете вектор tvir vektorіv, погледнете точката по-долу, приложете решението.
дупе 1
Намерете стойността на вектора $\overline(δ)$, който ще бъде резултат от векторното създаване на вектори, с координати $\overline(α)=(0,4,0)$ и $\overline(β) =(3,0,0 ) $.
Решение.
Нека визуализираме q вектори и y в декартовото координатно пространство (фиг. 3):
Фигура 3. Вектори в декартовото координатно пространство. Author24 - Интернет обмен на студентски работи
Бачимо, че векторите на qi лежат върху осите $Ox$ и $Oy$ ясно. Otzhe, kut mіzh ги dovnyuvatime $90^\circ$. Знаем за тези вектори:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
След това за задание 1 вземаме модула $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Предложение: $12 $.
Изчисляване на създаването на вектор за координатите на векторите
Z vyznachennya 1 vіdrazu vіplyvaє sposіb znakhodzhennya създаване на вектор за два vectorіv. Oskіlki вектор, krіm znachlennya, maє shche th директно, не е възможно да се знае само за допълнителна скаларна величина. Ale krіm нов іsnuіє sposіb znakhodzhennya за допълнителни координати, дадени ни vectorіv.
Нека ни дадем вектори $\overline(α)$ i $\overline(β)$, така че да можем да изчислим координатите $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, очевидно. Същият вектор на създаването на вектора (и неговите собствени координати) може да бъде известен по следната формула:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
В противен случай, rozkrivayuchi vyznachnik, вземете такива координати
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
дупе 2
Намерете вектора на векторното създаване на колинеарни вектори $\overline(α)$ и $\overline(β)$ с координати $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение.
Ускоряване с формула, която е индуцирана по-високо. За вкъщи
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Стойност: $ (12,-3,3) $.
Силата на векторния творчески вектор
За повече от три смени в $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$, а също и $r∈R$, напредващата мощност е справедлива:
дупе 3
Намерете площта на паралелограма, чиито върхове са координати $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8) ,0)$.
Решение.
Задната част на главата е представена с паралелограм в координатното пространство (фиг. 5):
Фигура 5. Паралелограм в координатното пространство. Author24 - Интернет обмен на студентски работи
Бачимо, че двете страни на този паралелограм са вдъхновени от допълнителни колинеарни вектори с координати $\overline(α)=(3,0,0)$ и $\overline(β)=(0,8,0)$. Vikoristovuyuchi четвърта мощност, otrimaemo:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Знаем вектора $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Отже
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ЗМИШАН ВИРОБ ТРОЧ ВЕКТОРИВ И ЙОГО ПАУЪР
Zmіshanim creativeтри вектора назовават числото, което е добро. бъде назначен 
. Тук първите два вектора се умножават векторно и след това векторът на изваждане се умножава скаларно по третия вектор. Очевидно такъв телевизор е цаца.
Нека да разгледаме силата на смесеното творение.
- геометричен смисъллудо творение. Zmіshane tvir 3 вектора с точност до знака на съгласието на паралелепипеда, индуцирани от тези вектори, като при ребрата, tobto. .
По такъв начин,
.
доказателство. Vіdklademo vektori vіd zagalnogo кочан и pobuduєmo върху тях paralepiped. Значително и с уважение, счо. За целите на скаларното създаване
Позволявам това, което знам звисочината на паралелепипеда, ние знаем.
По такъв начин при
Е, тогава ти. Татко,.
Ob'ednuyuchi обиди и vipadki, otrimuєmo или.
Z потвърждение за качеството на zokrem е viplivay, че третият вектор е прав, след това zmishane tvir, и yakshcho - лева, тогава.
- За каквито и вектори , , равенството е справедливо
Доказателството за силата на властта е очевидно от авторитета 1. Вярно е, че е лесно да се покаже това. Дотогава знаците "+" и "-" се вземат едновременно, т.к kuti mizh вектори та і един час гостри или глупави.
- При пренареждане, дали има две spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr промяна на знака.
Вярно е, сякаш можем да погледнем объркването на телевизията, тогава, например, или
- Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki і, ако іz сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє нула аbо вектори са копланарни.
доказателство.
Включително необходимата и достатъчна ментална компланарност на 3 вектора и равенството на нула на тяхното смесено създаване. Освен това е очевидно, че три вектора създават база за пространство, например.
Освен векторите и задачите в координатната форма, е възможно да се покаже, че тези промени са известни по формулата:
.По този начин zmіshane tvіr dоrіvnyuє vyznachnik от трети порядък, който има координатите на първия вектор в първия ред, координатите на друг вектор в другия ред и координатите на третия вектор в третия ред.
Приложи.
АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ В КОСМОСА
Ривняния F(x, y, z)= 0 се присвоява на пространството Oxyz deaku повърхност, tobto. геометрична точка, чиито координати x, y, zудовлетвори всеки, който ревнува. Линията се нарича равна на повърхността и x, y, z- текущи координати.
Често обаче повърхността се пита не от равни, а като безлична точка от пространството, която може да има тази друга сила. И тук е необходимо да се знае еквивалентността на повърхността, от нейните геометрични степени.
■ ПЛОЩ.
НОРМАЛЕН ВЕКТОР НА ПЛОЩ.
НИВЕЛИРАНЕ НА САМОЛЕТА ЗА ПРЕЗ ДАДЕНА ТОЧКА
Нека разгледаме простора на голяма площ σ. Позицията зависи от дадения вектор, перпендикулярен на дадената равнина, тази неподвижна точка M0(x0, y 0, z0), който лежи близо до равнината σ.
Векторът, перпендикулярен на равнината σ, се нарича нормалновектор qієї площ. Нека векторът има координати.
Можем да видим, че равнината σ е равна на преминаване през точката qi M0и може да бъде нормален вектор. За което приемаме на равнината σ достатъчна точка M(x, y, z)гледам вектора.
За каквато и да е точка МО σ вектор Tsya ревността е разумът на точката МО σ. Той е справедлив за всички точки в равнината и се разпада, като само точка Мпоза облегнат назад с равнина σ.
Как да разберем чрез радиус-вектор на точка М, е радиус векторът на точката M0, тогава th равно може да бъде записано с един поглед
Це равно се нарича векторравна на площта. Нека напишем йога в координатната форма. Тогава Осцилки
Otzhe, ние отнехме равнината на зоната, за да преминем тази точка. По този начин, за да се сгъне плоскостта на равнината, е необходимо да се знаят координатите на нормалния вектор и координатите на точката на двойка, които лежат върху равнината.
С уважение, че равнината е равна на 1-ви етап от координатите на потока x, yі z.
Приложи.
САМОЛЕТ ЗАГАЛНЕ РОВНЯНЯ
Можете ли да покажете колко равна е първата стъпка на декартовите координати x, y, zє равна на дейковата площ. Цената се записва като:
Ax+By+Cz+D=0
и се нарича дива ревниваравнини и координатите А, Б, Втук са координатите на нормалния вектор на областта.
Нека да разгледаме обкръжението на скандалната ревност. Разбира се, тъй като равнината на координатната система се разширява, това означава, че един или друг коефициент на подравняване се коригират до нула.
A - ядрото на vіdrіzka, което се вижда от равнината на оста вол. По същия начин може да се покаже, че бі ° С- Dovzhini vіdrіzkіv, scho vіdsіkayutsya плоски по осите, scho да се види. ойі Оз.
Квартири Rivnyannyam при ветроградите са удобни за изгаряне за повдигане на апартаментите.
