Pravidlo procvičování vektorů. Vektor vitvir vector_v
Vektorový vitvir- tse pseudovektor, kolmý k rovině, pobudovanoї na dva spіvnásobiče, což je výsledek binární operace "násobení vektorů" nad vektory v triviálním euklidovském prostoru. Vektor tvir nemá sílu komutativnosti a asociativnosti (є antikomutativní) i, na vіdminu vіd skalární vytvoření vektorіv, є vektoru. Široce se vyznačuje bohatými technickými a fyzickými doplňky. Například hybnost a Lorentzova síla jsou matematicky zapsány jako vektorový součin. Vektorové prodloužení corisny pro "obrácení" kolmosti vektorů je modul vektorové tvorby dvou vektorů dodatečného prodloužení jejich modulů, protože jsou kolmé, a mění se na nulu, protože vektory jsou rovnoběžné nebo anti- paralelní.
Význam vektorové oblečení je to možné jiným způsobem a teoreticky v prostoru, ať už je šíře n, můžete počítat dalších n-1 vektorů, které uberou vašemu jedinému vektoru, kolmo ke všem. Ale pokud je TV obklopena netriviálními binárními výtvory s vektorovými výsledky, pak je tradiční vektorová TV přiřazena pouze k triviálním a sedmisvětovým prostorům. Výsledek vytvoření vektoru, jako je skalární, leží v euklidovské prostorové metrice.
Na druhou stranu vzorec pro výpočet souřadnic vektorového skalárního objektu v trojrozměrném pravoúhlém souřadnicovém systému;
Jmenování:
Vektorový doplněk vektoru a k vektoru b v prostoru R 3 se nazývá vektor c
Délka vektoru c
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c ortogonální k vektoru kůže s a a b;
vektor c rektifikací tak, aby trojice vektorů v abc byla správná;
prostor R7 potřebuje asociativitu trojice vektorů a, b, c.
Označení:
c===a×b
Rýže. 1. Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vytváření vektoru
Geometrická síla vektorového umění:
Nutná a dostatečná mentální kolinearita dvou nenulových vektorů je rovnost nuly k jejich vytvoření vektoru.
Vektorový kreativní modul dorivnyuє oblast S paralelogram inspirovaný vektory redukovanými na klas Aі b(Div. obr. 1).
Yakscho E- jednoduchý vektor, ortogonální vektor Aі b a vibranium tak, že tři a,b,e- práva a S- plocha rovnoběžníku na nich indukovaná (směřující na klas), pak pro vytvoření vektoru platí následující vzorec:
=S e
Obr.2. Objem rovnoběžnostěnu s variací vektoru a skalární tvorby vektorů; tečkované čáry znázorňují projekce vektoru c na a × b a vektoru a na b × c, první řádek je význam skalárních výtvorů
Yakscho C- jaký vektor, π
- be-yak flat, scho pomsta tsey vektor, E- jeden vektor, který leží blízko roviny π
i ortogonální k c,g- jeden vektor ortogonální k rovině π
a narovnání tak, že tři vektory EKGє správně, tedy pro někoho, kdo leží na náměstí π
vektor A správný vzorec je:
=Pr e a |c|g
de Pr e a je projekce vektoru e na a
|c|-modul vektoru h
Při výběru vektoru a skalární tvorby můžete použít rovnoběžnostěn, inspirovaný vektory zmenšenými na klas. a, bі C. Takže tvir tři vektory se nazývají zmishanim.
V=|a (b×c)|
Malý ukazuje, jak to lze provést dvěma způsoby: geometrický výsledek se uloží při nahrazení „skalárních“ a „vektorových“ výtvorů:
V=a×b c=a b×c
Velikost vytvoření vektoru leží v sinusu řezu mezi primárními vektory, pak vektor tvir může být brán jako kroky kolmosti vektoru stejným způsobem, jako skalární tvir může být viděn jako kroky rovnoběžnost. Vektorové sčítání dvou jednotlivých vektorů k 1 (jeden vektor), stejně jako vektory a kolmé, a jako 0 (nulový vektor), jako vektory a paralelní nebo antiparalelní.
Viraz pro tvorbu vektorů v kartézských souřadnicích
Yakscho dva vektory Aі b přiřazené jejich pravoúhlými kartézskými souřadnicemi, nebo spíše reprezentovanými na ortonormální bázi
a = (a x, a y, az)
b = (b x, b y, b z)
a souřadnicový systém je správný, pak může vypadat váš vektor tvir
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pro zapamatování vzorců ts_єї:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- symbol Levi-Chiviti.
Síla skalárního stvoření
Skalární tvіr vectorіv, vznachennya, panství
Lineární operace s vektory.
Vektory, základní pojmy, označení, lineární operace s nimi
Dvojice bodů її se nazývá vektor v rovině, v tomto případě se první bod nazývá ucho a druhý konec - vektor.
Dva vektory se nazývají stejné, protože smrad je stejný a spoluřízený.
Vektory, které leží na jedné přímce, se nazývají ko-směrové, protože jsou směrovány společně s jedním a tím samým vektorem, který na této přímce neleží.
Vektory, které leží na jedné přímce nebo na rovnoběžných liniích, se nazývají kolineární a kolineární vektory, které nejsou spoluřízeny, se nazývají opačné-přímé.
Vektory, které leží na kolmých přímkách, se nazývají ortogonální.
Schůzka 5.4. sumoyu a+b vektor_v A і b nazývaný vektor, který jde na klas vektoru A na konci vektoru b , stejně jako vektor klasu b zbіgaєtsya s koncem vektoru A .
Termín 5.5. Maloobchodní a - b vektor_v A і b takový vektor se nazývá h , což je součet vektoru b ano vektor A .
Termín 5.6. Tvoromk A vektor A za číslo k nazývaný vektor b , kolineární vektor A , jaký je modul, rovný | k||A |, že rovný, scho zbіgaєtsya s rovný | A v k>0 i délka A v k<0.
Síla násobení vektoru číslem:
Výkon 1. k(a+b ) = k A+ k b.
Síla 2. (k+m)A = k A+ m A.
Síla 3. k(m A) = (km)A .
Poslední. Jako nenulové vektory A і b kolіnearnі, pak іsnuє takový kolіkіst k, co b= k A.
Skalární součin dvou nenulových vektorů Aі b volá se číslo (skalární), které umožňuje sečíst dva vektory o kosinus řezu φ mezi nimi. Skalární tvir může být označen různými způsoby, například jako ab, A · b, (A , b), (A · b). V tomto pořadí je skalární tvir dobrý:
A · b = |A| · | b| cos φ
Pokud chceme, aby jeden z vektorů dosáhl nuly, pak skalární sčítání k nule.
Síla permutace: A · b = b · A(Typ permutace multiplikátorů ve skalárním twir se nemění);
· Síla rozpodіlu: A · ( b · C) = (A · b) · C(Výsledek neleží v pořadí násobení);
Výkon dne (stovky skalárního multiplikátoru): (λ A) · b = λ ( A · b).
Síla ortogonality (kolmosti): jako vektor Aі b nenulové, jejich skalární TV je rovna nule, pouze pokud je q vektorů ortogonálních (kolmých jedna k jedné) A ┴ b;
Síla čtverce: A · A = A 2 = |A| 2 (skalární součet samotného vektoru je roven druhé mocnině tého modulu);
Jak koordinovat vektory A=(x 1, y 1, z 1) b=(x 2, y 2, z 2 ), pak je skalární těleso jedna A · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vektorové vektorové vedení. Jmenování: Pod vektorem se rozumí vytvoření dvou vektorů a vektoru, pro který:
Modul dodatečné oblasti rovnoběžníku, inspirovaný těmito vektory, tobto. , de cut mezi vektory ta
Tsey vektor kolmých vektorů, které se násobí, tobto.
Vzhledem k tomu, že vektory nejsou kolineární, smrad vyhovuje pravé trojici vektorů.
Síla tvorby vektorů:
1.Při změně pořadí násobičů vektorové TV změníte vlastní znaménko návratu, uložení modulu, tobto.
2 .Vektorový čtverec se rovná nule-vektoru, tobto.
3 .Skalární multiplikátor může být obviňován ze symbolu vytvoření vektoru, tobto.
4 .Pro jakékoli tři vektory je rovnost spravedlivá
5 .Potřebná a dostatečná myšlenková kolinarita dvou vektorů a:
Kut mizh vektory
Abychom mohli zavést koncept vektorové tvorby dvou vektorů, je nutné takové koncepty utřídit, jako způsob, jak se mezi těmito vektory dělit.
No tak, máme dva vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$. Vezmeme bod $O$ v prostoru a přidáme vektor $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, pak se $AOB$ bude nazývat řez mezi vektory (obr. 1).
Podpis: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Pochopení vektorového kreativního vektoru
Schůzka 1
Vektor vytvořený dvěma vektory je vektor, který je kolmý k oběma daným vektorům a druhý vektor je efektivnější pro doplnění dvou vektorů o sinus kuta mezi danými vektory a také vektor dvou cobů může mít stejnou orientaci, jako kartézský souřadnicový systém.
Význam: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematicky to vypadá takto:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ nicméně orientace (obr. 2)
Je zřejmé, že aktuální vektor tvir se rovná nulovému vektoru ve dvou směrech:
- Jak dlouhý je jeden nebo oba vektory rovny nule.
- Jak provést řez mezi těmito dvěma vektory rovnými $180^\circ$ nebo $0^\circ$ (měřítko, ve kterém je sinus roven nule).
Vzlykněte na prvním místě, jak poznat vektor tvir vektorіv, podívejte se na bod níže, aplikujte řešení.
zadek 1
Najděte hodnotu vektoru $\overline(δ)$, který bude výsledkem vektorové tvorby vektorů, se souřadnicemi $\overline(α)=(0,4,0)$ a $\overline(β) =(3,0,0) $.
Řešení.
Představme si q vektorů a y v kartézském souřadnicovém prostoru (obr. 3):
Obrázek 3. Vektory v prostoru kartézských souřadnic. Author24 - Internetová výměna studentských prací
Bachimo, že vektory čchi leží na osách $Ox$ a $Oy$ jasně. Otzhe, kut mіzh je dovnyuvatime $90^\circ$. Víme o těchto vektorech:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Potom pro úkol 1 vezmeme modul $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Doporučení: 12 $.
Výpočet tvorby vektoru pro souřadnice vektorů
Z vyznachennya 1 vіdrazu vіplyvaє sposіb znakhodzhennya vektorové vytvoření pro dva vectorіv. Oskіlki vektor, krіm znachlennya, maє shche th přímo, není možné jej znát pouze pro dodatečné skalární množství. Ale krіm nový іsnuіє sposіb znakhodzhennya pro další souřadnice nám vectorіv.
Dejte nám vektory $\overline(α)$ i $\overline(β)$, abychom mohli vypočítat souřadnice $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, samozřejmě. Stejný vektor tvorby vektoru (a jeho vlastní souřadnice) lze znát podle následujícího vzorce:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Jinak, rozkrivayuchi vyznachnik, vezmi takové souřadnice
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
zadek 2
Najděte vektor vektorové tvorby kolineárních vektorů $\overline(α)$ a $\overline(β)$ se souřadnicemi $(0,3,3)$ a $(-1,2,6)$.
Řešení.
Zrychlení pomocí vzorce, který byl indukován výše. Odnést
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Hodnota: $ (12,-3,3) $.
Síla vektorového kreativního vektoru
Pro více než tři směny v $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$ a také $r∈R$ je postupující síla spravedlivá:
zadek 3
Najděte oblast rovnoběžníku, jehož vrcholy jsou souřadnice $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ a $(3,8 ,0) $.
Řešení.
Zadní část hlavy je znázorněna rovnoběžníkem v souřadnicovém prostoru (obr. 5):
Obrázek 5. Rovnoběžník v souřadnicovém prostoru. Author24 - Internetová výměna studentských prací
Bachimo, že dvě strany tohoto rovnoběžníku byly inspirovány dalšími kolineárními vektory se souřadnicemi $\overline(α)=(3,0,0)$ a $\overline(β)=(0,8,0)$. Vikoristovuyuchi čtvrtá moc, otrimaemo:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Známe vektor $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Otzhe
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ZMISHANY VIROB TROCH VECTORIV A YOGO POWER
Zmіshanim kreativní tři vektory pojmenují číslo, které je dobré. být jmenován 
. Zde jsou první dva vektory násobeny vektorově a poté je odečítací vektor skalárně násoben třetím vektorem. Je zřejmé, že takový televizor je šprot.
Podívejme se na sílu smíšeného stvoření.
- geometrický smysl bláznivé tvoření. Zmіshane tvir 3 vektory s přesností až do znaménka shody kvádru, indukované těmito vektory, jako u žeber, tobto. .
takovým způsobem,
.
důkaz. Vіdklademo vektori vіd zagalnogo cob a pobuduєmo na ně paralepiped. Významně a s úctou, scho. Za účelem skalární tvorby
Nechat projít to, co vím h výška rovnoběžnostěnu, víme.
Takovým způsobem, at
No, pak th. Otec, .
Ob'ednuyuchi urážky a vipadki, otrimuєmo buď.
Z potvrzení kvality zokrem je viplivay, že třetí vektor je správný, pak zmishane tvir a yakshcho - leva, tedy.
- Pro jakékoli vektory , je rovnost spravedlivá
Důkaz moci autority je zřejmý z autority 1. Pravda, je snadné to ukázat. Do té doby se znaménka "+" a "-" berou současně, protože kuti mizh vectors ta і jednu hodinu gostrі nebo hloupý.
- Při přeskupování, zda existují dva spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr změnit znamení.
Je to pravda, jako bychom se mohli dívat na zmatek TV, pak například nebo
- Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki і, pokud іz сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє nula аbо vektory аrе koplanární.
důkaz.
Včetně nutné a dostatečné mentální koplanarity 3 vektorů a nulové rovnosti jejich smíšené tvorby. Navíc je zřejmé, že tři vektory vytvářejí základ například pro prostor.
Stejně jako vektory a úlohy v souřadnicovém tvaru je možné ukázat, že tyto změny jsou známé vzorcem:
.Tedy zmіshane tvіr dоrіvnyuє vyznachnik třetího řádu, který má souřadnice prvního vektoru v prvním řádku, souřadnice dalšího vektoru v druhém řádku a souřadnice třetího vektoru ve třetím řádku.
aplikovat.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
Rivnyannia F(x, y, z)= 0 je přiřazeno k prostoru Oxyz povrch deaku, tobto. geometrický bod místa, jehož souřadnice x, y, z uspokojit toho, kdo žárlí. Čára se nazývá rovná povrchu a x, y, z- aktuální souřadnice.
Často je však povrch žádán ne rovnými, ale jako neosobní bod prostoru, který může mít tu další sílu. A zde je nutné znát ekvivalenci plochy z її geometrických mocnin.
PLOCHA.
VEKTOR NORMÁLNÍ PLOCHY.
VYROVNÁNÍ LETADLA, ABY PROJEL DANÝM BODEM
Podívejme se na rozlohu velké plochy σ. Poloha je závislá na daném vektoru kolmém na danou rovinu, ten pevný bod M0(x0, y 0, z0), která leží poblíž roviny σ.
Vektor kolmý k rovině σ se nazývá normální vektorová oblast qієї. Nechť má vektor souřadnice.
Vidíme, že rovina σ je rovna průchodu bodem qi M0 a může to být normální vektor. Pro který bereme na rovině σ dostatečný bod M(x, y, z) dívám se na vektor.
Pro jakýkoli bod MО σ vektor Tsya žárlivost je smyslem věci MО σ. Je spravedlivý pro všechny body v rovině a porouchá se jako jediný bod M opřená póza s rovinou σ.
Jak poznat přes poloměr-vektor bodu M, je poloměrový vektor bodu M0, pak lze na první pohled zaznamenat rovnítko
Tse rovno se nazývá vektor rovná ploše. Napišme jógu v souřadnicovém tvaru. Oscilki tedy
Otzhe, vzali jsme rovinu oblasti, abychom prošli tímto bodem. Tímto způsobem, aby bylo možné složit rovinnost roviny, je nutné znát souřadnice normálového vektoru a souřadnice bodu shody, které leží na rovině.
Respektive, že rovina je rovna 1. stupni souřadnic proudění x, yі z.
aplikovat.
LETADLO ZAGALNE RIVNYANNYA
Můžete ukázat, jak se první krok rovná kartézským souřadnicím x, y, zє rovná oblasti deykoї. Cena je evidována jako:
Ax+By+Cz+D=0
a je volán divoký žárlivý roviny a souřadnice A, B, C zde jsou souřadnice normálového vektoru oblasti.
Podívejme se do okolí té nehorázné žárlivosti. Samozřejmě, jak se rovina souřadnicového systému rozšiřuje, znamená to, že jeden nebo druhý koeficient vyrovnání se upraví na nulu.
A - jádro vіdrіzka, které je vidět rovinou na ose Vůl. Podobně lze ukázat, že bі C- Dovzhini vіdrіzkіv, scho vіdsіkayutsya ploché na osách, scho být vidět. Auі Oz.
Rivnyannyam byty na větrolamy jsou užitečné pro spálení pro zvýšení bytů.
