Pravilo vektorske prakse. Vektor vitvir vector_v
Vektor vitvir- tse pseudovektor, okomit na ravninu, pobudovanoí̈ na dva spív množitelja, što je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trivijalnom euklidskom prostoru. Vektor tvir nema moć komutativnosti i asocijativnosti (ê antikomutativno) i, na vídminu víd skalarno stvaranje vektorív, ê vektor. Široko istaknut u bogatim tehničkim i fizičkim dodacima. Na primjer, zamah i Lorentzova sila su matematički zapisani kao vektorski umnožak. Vektorsko proširenje corisnya za "obrnutu" okomitost vektora je modul stvaranja vektora dvaju vektora dodatnog proširenja njihovih modula, budući da su okomiti, i mijenja se na nulu, jer su vektori paralelni ili anti- paralelno.
Značaj vektorske odjeće moguće je na drugačiji način, a teoretski, u prostoru, bilo da postoji širina od n, možete izbrojati dodatnih n-1 vektora, oduzimajući od vašeg jednog vektora, okomito na sve njih. Ali ako je tvir okružen netrivijalnim binarnim tvorevinama s vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski tvir dodijeljen samo trivijalnim i sedmosvjetskim prostorima. Rezultat stvaranja vektora, poput skalarnog, leži u euklidskoj prostornoj metrici.
S druge strane, formula za izračun koordinata vektorskog skalarnog objekta u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu;
Ugovoreni sastanak:
Vektorski komplement vektora a vektoru b u prostoru R 3 naziva se vektor c
Duljina vektora c
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c ortogonan na skin vektor s a i b;
vektor c ispravljanja tako da je trojstvo vektora u abc pravo;
prostoru R7 potrebna je asocijativnost trija vektora a, b, c.
Oznaka:
c===a×b
Riža. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu stvaranja vektora
Geometrijska moć vektorske umjetnosti:
Nužna i dovoljna mentalna kolinearnost dvaju vektora različita od nule jednakost je nule njihovom stvaranju vektora.
Vektorski kreativni modul dorivnyuê područje S paralelogram inspiriran vektorima svedenim na klip aі b(Div. sl. 1).
Yakscho e- jednostruki vektor, ortogonalni vektor aі b i vibranij tako da tri a,b,e- prava, i S- površina paralelograma inducirana na njima (pokazujući na klip), tada za kreiranje vektora vrijedi sljedeća formula:
=S e
sl.2. Volumen paralelepipeda s varijacijom vektora i skalarnim stvaranjem vektora; isprekidane linije pokazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prva linija je značaj skalarnih tvorevina
Yakscho c- koji vektor, π
- be-yak flat, vektor scho vengeance tsey, e- jedan vektor koji leži u blizini ravnine π
ja ortogonalno na c,g- jedan vektor ortogonan na ravninu π
i ravnanje tako da tri vektora ekgê pravo, onda za nekoga tko leži na trgu π
vektor a ispravna formula je:
=Pr e a |c|g
de Pr e a je projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora h
Prilikom odabira vektora i skalarne kreacije, možete koristiti paralelepiped, inspiriran vektorima svedenim na klip a, bі c. Tako se tvir tri vektora nazivaju zmishanim.
V=|a (b×c)|
Mali pokazuje kako se to može učiniti na dva načina: geometrijski rezultat se sprema zamjenom "skalarnih" i "vektorskih" kreacija:
V=a×b c=a b×c
Veličina stvaranja vektora leži u sinusu reza između primarnih vektora, tada se vektor tvir može uzeti kao koraci okomitosti vektora na isti način, kao što se skalarni tvir može vidjeti kao koraci paralelizam. Vektorski zbrajanje dvaju pojedinačnih vektora na 1 (jedan vektor), kao i vektori i okomiti, te kao 0 (nulti vektor), kao vektori i paralelni ili antiparalelni.
Viraz za kreiranje vektora u kartezijanskim koordinatama
Yakscho dva vektora aі b dodijeljene svojim pravokutnim kartezijanskim koordinatama, ili bolje rečeno, predstavljene u ortonormalnoj bazi
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
a koordinatni sustav je ispravan, tada bi vaš vektorski tvir mogao izgledati
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Za pamćenje ts_êí̈ formula:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- simbol Levi-Chiviti.
Moć skalarne kreacije
Skalarni tvír vektorív, vznachennya, dominion
Linearne operacije nad vektorima.
Vektori, osnovni pojmovi, oznake, linearne operacije nad njima
Par njezinih točaka naziva se vektor na ravnini, pri čemu se prva točka naziva uho, a drugi kraj - vektor.
Dva vektora nazivaju se jednakima, jer je smrad jednak i suusmjeren.
Vektori koji leže na jednoj pravoj crti nazivaju se kosmjernim jer su kousmjereni s jednim te istim vektorom koji ne leži na ovoj pravoj liniji.
Vektori koji leže na jednoj ravnoj ili paralelnoj liniji nazivaju se kolinearni, a kolinearni vektori koji nisu kousmjereni nazivaju se suprotno ravni.
Vektori koji leže na okomitim linijama nazivaju se ortogonalni.
Imenovanje 5.4. sumoyu a+b vektor_v a і b zove vektor, koji ide na klip vektora ali na kraju vektora b , baš kao i vektor klipa b zbígaêtsya s krajem vektora ali .
Imenovanje 5.5. Maloprodaja a - b vektor_v ali і b takav se vektor naziva h , što je zbroj vektora b da vektor ali .
Imenovanje 5.6. Tvoromk a vektor ali po broju k zove vektor b , kolinearni vektor ali , koliki je modul, jednak | k||a |, to ravno, scho zbígaêtsya s ravno | ali na k>0 i duljina ali na k<0.
Moć množenja vektora brojem:
Snaga 1. k(a+b ) = k a+ k b.
Snaga 2. (k+m)a = k a+ m a.
Snaga 3. k(m a) = (km)a .
Posljednji. Poput vektora koji nisu nula ali і b kolínearní, onda ísnuê takav kolíkíst k, što b= k a.
Skalarni proizvod dva vektora različita od nule aі b poziva se broj (skalar), koji dopušta zbrajanje dvaju vektora kosinusom reza φ između njih. Skalarni tvir može se označiti na različite načine, na primjer, kao ab, a · b, (a , b), (a · b). Ovim redoslijedom, skalarni tvir je dobar:
a · b = |a| · | b| cos φ
Ako želimo da jedan od vektora dosegne nulu, onda je skalarni zbrajanje na nulu.
Snaga permutacije: a · b = b · a(Vrsta permutacije množitelja u skalarnom twir-u se ne mijenja);
· Snaga rozpodílu: a · ( b · c) = (a · b) · c(Rezultat ne leži u redoslijedu množenja);
Snaga dana (stotine skalarnog množitelja): (λ a) · b = λ ( a · b).
Moć ortogonalnosti (okomitosti): kao vektor aі b različit od nule, njihov skalarni TV je jednak nuli, samo ako je q vektora ortogonalno (okomito jedan na jedan) a ┴ b;
Snaga kvadrata: a · a = a 2 = |a| 2 (skalarni zbrajanje samog vektora jednak je kvadratu th modula);
Kako uskladiti vektore a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada je skalarno kruto tijelo jedan a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vektorska vektorska vodljivost. Ugovoreni sastanak: Pod vektorom se podrazumijeva stvaranje dva vektora i vektora, za koje:
Modul dodatnog područja paralelograma, inspiriran ovim vektorima, tobto. , de cut između vektora ta
Tsey vektor okomitih vektora, koji se množe, tobto.
Kako vektori nisu kolinearni, smrad zadovoljava desno od trojstva vektora.
Moć stvaranja vektora:
1. Prilikom promjene redoslijeda množitelja vektorskog TV-a mijenjate vlastiti predznak povratka, spremajući modul, tobto.
2 .Vektorski kvadrat jednak je nultom vektoru, tobto.
3 .Skalarni množitelj može se okriviti za simbol stvaranja vektora, tobto.
4 .Za bilo koja tri vektora jednakost je pravedna
5 .Potrebna i dovoljna kolinarnost uma dvaju vektora i:
Kut mizh vektori
Kako bismo mogli uvesti pojam vektorske tvorbe dva vektora, potrebno je razvrstati takve pojmove, kao način presijecanja između ovih vektora.
Hajde, dana su nam dva vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$. Uzmite točku $O$ u prostoru i dodajte vektore $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, tada će se rez $AOB$ zvati izrezati između s vektorima (slika 1).
Potpis: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Razumijevanje vektorskog kreativnog vektora
Imenovanje 1
Vektor stvoren s dva vektora je vektor koji je okomit na oba zadana vektora, a drugi vektor je učinkovitiji zbrajanje dvaju vektora sa sinusom kuta između zadanih vektora, a također vektor dva klipa ima istu orijentaciju, poput kartezijanskog koordinatnog sustava.
Značajno: $\overline(α)h\overline(β)$.
Matematički to izgleda ovako:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ međutim orijentacija (slika 2)
Očito je da je trenutni vektor tvir jednak nultom vektoru u dva smjera:
- Koliko dugo je jedan ili oba vektora jednaka nuli.
- Kako rezati između ova dva vektora jednaka $180^\circ$ ili $0^\circ$ (skala u kojem je smjer sinus jednak nuli).
Jecaj na prvom mjestu, kako znati vektor tvir vektorív, pogledajte točku u nastavku, primijenite rješenje.
guza 1
Pronađite vrijednost vektora $\overline(δ)$, koji će biti rezultat stvaranja vektora vektora, s koordinatama $\overline(α)=(0,4,0)$ i $\overline(β) =(3,0,0 ) $.
Riješenje.
Vizualizirajmo q vektore i y u kartezijanskom koordinatnom prostoru (slika 3):
Slika 3. Vektori u kartezijanskom koordinatnom prostoru. Autor24 - Internetska razmjena studentskih radova
Bachimo, da qi vektori leže na osi $Ox$ i $Oy$ jasno. Otzhe, kut mízh ih dovnyuvatime $90^\circ$. Znamo za ove vektore:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Zatim, za dodjelu 1, uzimamo modul $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Prijedlog: 12 $.
Proračun stvaranja vektora za koordinate vektora
Z vyznachennya 1 vídrazu víplyvaê sposíb znakhodzhennya stvaranje vektora za dva vektorív. Oskílki vektor, krím znachlennya, maê shche th izravno, nemoguće ga je znati samo za dodatnu skalarnu količinu. Ale krím novi ísnuíê sposíb znakhodzhennya za dodatne koordinate koje su nam dane vectorív.
Dajmo nam vektore $\overline(α)$ i $\overline(β)$, tako da možemo izračunati koordinate $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, očito. Isti vektor stvaranja vektora (i njegove vlastite koordinate) može se znati po sljedećoj formuli:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Inače, rozkrivayuchi vyznachnik, uzmite takve koordinate
$\overline(α)h\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
guza 2
Pronađite vektor stvaranja vektora kolinearnih vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$ s koordinatama $(0,3,3)$ i $(-1,2,6)$.
Riješenje.
Ubrzavanje s formulom koja je inducirana više. Oduzeti
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Vrijednost: $ (12,-3,3) $.
Moć vektorskog kreativnog vektora
Za više od tri pomaka u $\overline(α)$, $\overline(β)$ í $\overline(γ)$, a također i $r∈R$, snaga napredovanja je pravedna:
guza 3
Pronađite područje paralelograma čiji su vrhovi koordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ i $(3,8) ,0)$.
Riješenje.
Stražnji dio glave prikazan je paralelogramom u koordinatnom prostoru (slika 5):
Slika 5. Paralelogram u koordinatnom prostoru. Autor24 - Internetska razmjena studentskih radova
Bachimo, da su dvije strane ovog paralelograma inspirirane dodatnim kolinearnim vektorima s koordinatama $\overline(α)=(3,0,0)$ i $\overline(β)=(0,8,0)$. Vikoristovuyuchi četvrta snaga, otrimaemo:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Znamo vektor $\overline(α)h\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Otzhe
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ZMISHANY VIROB TROCH VECTORIV I YOGO POWER
Zmíshanim kreativni tri vektora imenuju broj koji je dobar. biti imenovan 
. Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se vektor oduzimanja skalarno množi s trećim vektorom. Očito, takav televizor je papalina.
Pogledajmo snagu mješovite kreacije.
- geometrijski smisao luda kreacija. Zmishane tvir 3 vektora s točnošću do predznaka starog obyagu paralepipeda, potaknuta ovim vektorima, kao kod rebara, tobto. .
Na takav način,
.
dokaz. Vídklademo vektori víd zagalnogo klipa i pobuduêmo na njih paralepiped. Značajno i s poštovanjem, scho. U svrhu stvaranja skalara
Dopuštam ono što znam h visina paralelepipeda, znamo.
Na takav način, kod
Pa onda th. Otac,.
Ob'ednuyuchi uvrede i vipadki, otrimuêmo bilo.
Z potvrda kvalitete zokrema je viplivay, da je treći vektor u pravu, zatim zmishane tvir, i yakshcho - leva, zatim.
- Za sve vektore , , jednakost je pravedna
Dokaz moći autoriteta vidljiv je iz autoriteta 1. Istina, to je lako pokazati. Do tada se istovremeno uzimaju znakovi "+" i "-", jer kuti mizh vektori ta í jedan sat gostrí ili glup.
- Prilikom preuređivanja, bilo da postoje dva spívmulnínív zmíshaní tvír promijeniti znak.
Istina je, kao da možemo gledati na zbrku TV-a, onda, na primjer, ili
- Zmíshany tvír tílki tílki tílki í, ako íz spívmínníkív dorívnyuê nula iznad vektora su koplanarni.
dokaz.
Uključujući potrebnu i dovoljnu mentalnu koplanarnost 3 vektora i jednakost na nulu njihovog mješovitog stvaranja. Osim toga, očito je da tri vektora uspostavljaju osnovu za prostor, na primjer.
Kao i vektori i zadaci u koordinatnom obliku, moguće je pokazati da su te promjene poznate formulom:
.Dakle, zmíshane tvír dorívnyuê vyznachnik trećeg reda, koji ima koordinate prvog vektora u prvom redu, koordinate drugog vektora u drugom redu i koordinate trećeg vektora u trećem redu.
primijeniti.
ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU
Rivnyannia F(x, y, z)= 0 se dodjeljuje prostoru Oxyz deaku površina, tobto. geometrijska točka, čije koordinate x, y, z zadovoljiti onoga tko je ljubomoran. Pravac se naziva jednakom površini, i x, y, z- trenutne koordinate.
Međutim, često površinu ne traže jednaki, već kao neosobna točka prostora, koja može imati tu drugu moć. I ovdje je potrebno znati ekvivalentnost površine, iz njenih geometrijskih snaga.
PODRUČJE.
NORMALNI VEKTOR PODRUČJA.
NIVELIRANJE ZRAKINE ZA PROLAZAK KROZ ZADANU TOČKU
Pogledajmo prostranstvo velike površine σ. Položaj ovisi o zadanom vektoru okomitom na danu ravninu, tu fiksnu točku M0(x0, y 0, z0) koji leži blizu ravnine σ.
Vektor okomit na ravninu σ naziva se normalan vektor qíêí̈ područje. Neka vektor ima koordinate.
Vidimo da je ravnina σ jednaka prolasku kroz točku qi M0 i može biti normalni vektor. Za što uzimamo na ravnini σ dovoljnu točku M(x, y, z) gledam vektor.
Za bilo koju točku M O σ vektor Tsya ljubomora je glavna stvar M O σ. Pošteno je za sve točke u ravnini i kvari se, kao samo točka M naslonjena poza s ravninom σ.
Kako znati kroz radijus-vektor točke M, je radijus vektor točke M0, tada se th jednako može zabilježiti na prvi pogled
Tse jednako se zove vektor jednaka površini. Napišimo jogu u koordinatnom obliku. Oscilki, dakle
Otzhe, oduzeli smo ravnost područja, da prođemo ovu točku. Na taj način, da bi se presavinula ravnost ravnine, potrebno je poznavati koordinate vektora normale i koordinate dvojke koje leže na ravnini.
S poštovanjem, da je ravnina jednaka 1. stupnju koordinata toka x, yі z.
primijeniti.
ZAVION ZAGALNE RIVNYANNYA
Možete li pokazati koliko je prvi korak jednak kartezijanskim koordinatama x, y, zê jednak deykoí̈ području. Cijena se bilježi kao:
Ax+By+Cz+D=0
i zove se divlja ljubomorna ravnine i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale područja.
Pogledajmo okolinu nečuvene ljubomore. Naravno, kako se područje koordinatnog sustava širi, to znači da su jedan ili drugi koeficijenti izjednačeni na nulu.
A - jezgra vídrízke, koja se vidi po ravnini na osi Vol. Slično, može se pokazati da bі c- Dovzhini vídrízkív, scho vídsíkayutsya stan na osi, scho da se vidi. Jaoі Oz.
Rivnyannyam stanovi na vjetrobranima zgodni su za spaljivanje za podizanje stanova.
