≡× IZBORNIK

• Caesar_v roztin
• Kalendarski čips
• Krvni testovi
• Razdoblje pospanosti
• Priprema za jesen

Zmishane TV vektor. Vektor vitvir vector_v

Pogledajmo TV vektore, і , presavijeni u naprednom rangu:
. Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, jer je rezultat skalarno množen trećim vektorom. Takvo stvaranje naziva se vektorsko-skalarno ili mješovito stvaranje tri vektora. Zmishany tvirê deakim broj.

Z'yasuemo geometrijski smisao virazu
.

Teorema . Zmíshany dobutok 3 vectorív dorívnyuê obyagu paralepiped, pobudovanogo na tsíh vektora, uzeti zí znak "plus", yakscho tsí vektori utvoryuyut desnu troíyku, í zí znak "minus", yakshcho utavlyayut lijevu trojku.

Dokaz.. Napravimo paralelepiped čiji su bridovi vektori , , ta vektor
.

Maemo:
,
, de - površina paralelograma na temelju vektora і ,
za desni trio vektora i
za lijevo, de
- Visina paralelepipeda. Uzimamo:
, onda.
, de - obsyag paralepiped, ukrašen vektorima , і .

Dominacija mješovite kreacije

1. Promjena tvir se ne mijenja kada ciklički permutacije joge spívmulnínív, tobto. .

Zapravo, s vremenom se ne mijenjaju ni okolnost paralelepipeda ni orijentacija rebara.

2. Zmíshane tvír ne zmínyuêtsya píd h zmíni místsami znakove vektorskog i skalarnog množenja, tobto.
.

Pravi,
і
. Znak na desnom dijelu ovih ekvivalencija uzima isti, odnosno trio vektora , , і , , - jedna orijentacija.

otzhe,
. Tse vam omogućuju snimanje zmíshane tvír vectorív
na vidiku
neoznačeno vektorsko skalarno množenje.

3. Zmíshane tvír zmínyuê znak na zmíní místs postoje li dva vektora-spív množitelja, tj.
,
,
.

Doista, takva je permutacija češća permutacija spiv množitelja u vektorskoj kreaciji, koja mijenja predznak u kreaciji.

4. Promjene u broju vektora koji nisu nula , і jedan prema nuli i todi, ako su koplanarni.

2.12. Proračun mješovitog stvaranja u koordinatnom obliku u ortonormalnoj bazi

Dajte vektore zadatka
,
,
. Upoznajmo njihov zmíshany tvir, vikoristovuyuchi vrazi u koordinatama za vektorske i skalarne tvorevine:

. (10)

Otrimanova formula može se napisati kraće:

,

krhotine prava dijela jednakosti (10) ê rozladannya vyznachnik trećeg reda za elemente trećeg reda.

Otzhe, zmíshane tvír vektorí v dorívnyuê vyznachnik trećeg reda, presavijeni od koordinata vektorív, koji se množe.

2.13. Djela dodataka mješovitoj tvorevini

Označena međusobna orijentacija vektora u prostoru

Označena međusobna orijentacija vektora , і Gruntuyetsya o nadolazećem mirkuvannyah. Yakscho
, onda , , - Prava tri; yakscho
, onda , , - Liva tri.

Umovljeva komplanarnost vektora

Vektori , і complanarní tílí í tílki tílki ítí, ako njihovonê zmišane tvír dorívnyuê nula (
,
,
):

vektora , , komplanarna.

Dizajniran da odgovara paralepipedu i triko piramidi

Nije važno pokazati da je paralelepiped, na temelju vektora, , і računati kao
i obsyag trikutnoí̈ piramidi, pobudovanoí̈ na tsikh iste vektore, dorivnyuê
.

primjer 1. Donesite što vektori
,
,
komplanarna.

Riješenje. Znamo promjenu tvir tsikh vectorív za formulu:

.

Tse znači da vektori
komplanarna.

guza 2. S obzirom na vrhove tetraedra: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Znajte duljinu yoga visina spuštenih s vrha .

Riješenje. Znamo okosnicu tetraedra
. Uzimamo u obzir formulu:

Oskelki vyznachnik je skuplji na negativan broj, tada morate uzeti znak minus ispred formule. otzhe,
.

Shukanu veličina h značajno iz formule
, de S - Područje baze. Značajno ravna S:

de

Oskilki

Slanje formule
značenje
і
, poduzete h= 3.

Primjer 3. Vektori za smirivanje chi
osnova prostora? Izložite vektor
na temelju vektora.

Riješenje. Kao što vektori uspostavljaju osnovu za prostor, svi smradovi leže u jednom stanu, tj. ê nekoplanaran. Znamo zvuk tvir vector_v
:
,

Također, vektori nisu komplanarni i uspostavljaju osnovu za prostor. Ako vektori uspostavljaju osnovu za prostor, onda je to vektor možete pogledati linearnu kombinaciju osnovnih vektora,
,de
vektorske koordinate na bazi vektora
. Znamo qi koordinate, zbrajanje i rozvyazshi sustav jednak

.

Virishyuchi íí̈ Gaussova metoda, možda

Zvídsi
. Todi .

na takav način,
.

Primjer 4. Vrhovi piramide nalaze se u točkama:
,
,
,
. Izračunati:

a) područje lica
;

b) obsyag piramide
;

c) vektorska projekcija
off road vektor
;

d) rezati
;

e) provjeriti koji vektori
,
,
komplanarna.

Riješenje

a) Iz oznake stvaranja vektora jasno je da:

.

Vektor znamo
і
, vikoristička formula

,
.

Za vektore, dane njihovim projekcijama, vektor TV poznat je po formuli

, de
.

Za našu vipadu

.

Vrijednost preuzetog vektora je poznata, vikoristička formula

,
.

i onda
(kv. Od.).

b) Poboljšanje tri vektora za apsolutnu vrijednost povećanja volumena paralelepipeda, na temelju vektora , , jak na rebra.

Zmishane tvir se izračunavaju prema sljedećoj formuli:

.

Vektor znamo
,
,
, koji se protežu od rebara piramide, koji konvergiraju prema vrhu :

,

,

.

Zmíshany tvír tsikh vektorív

.

Oskílki obsyag píramídí dorívnyuê poríní obyagu paralepiped, pobudovanogo vektoryov
,
,
, onda
(Kub. od.).

c) Vikoristička formula
, što znači skalarni dodatni vektor , , može se napisati ovako:

,

de
ili
;

ili
.

Za projekciju vektora
off road vektor
znamo koordinate vektora
,
, a zatim, zastosovuchi formulu

,

prihvatljiv

d) Za značenje kuta
promjenjivi vektori
,
, što oprati užareni klip na točki :

,

.

Slijedimo formulu skalarne kreacije

,

e) Da bismo imali tri vektora

,
,

bili su komplanarni, nužni i dovoljni, tako da bi njihova promjena bila jednaka nuli.

Naš um može
.

Opet, vektori su komplanarni.

Na ovoj razini možemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski štand vector_vі Zmíshany tvír vektorív (Vídrazu possilannya, kome treba baš ta stvar). Nije ništa strašno, pa ponekad samo za potpunu sreću, krim skalarni kreativni vektor, Treba sve više. Ovo je vektorska os ovisnosti o drogama. Moglo bi se dodati neprijatelju, pa se penjemo u mrežu analitičke geometrije. Nije tako. Kome su veliki matematičari uzeli malo drva za ogrjev, bolje je družiti se s Pinocchiom. Stvarno, materijal je širi i jednostavniji - jedva sklopiviji, niži od istog skalarni doboot, bit će manje tipičnih zadataka. Golovne u analitičkoj geometriji, kao i mnogi ljudi koji se predomisle i već imaju nered, NEMOJTE MILOSTI U HIVISLE. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni.

Poput vektora i vibriraj ovdje daleko, kao svjetluca na horizontu, nemoj, počni od lekcije Vektori za čajnike, kako bi naučili ili stekli osnovna znanja o vektorima. Čitatelji mogu saznati više o ovim informacijama, pokušao sam odabrati najpotpuniju zbirku aplikacija, koje često koriste praktični roboti

Što će vas usrećiti? Ako sam mali, onda sam naučio žonglirati s dva i zamotati tri u vrećice. Bilo je jezivo. Pritom se žongliranje neće dogoditi munjevito, vide se krhotine naših očiju samo svemirski vektori, a ravni vektori iz dvije koordinate ostaju iza. Zašto? Ovako su podaci već rođeni - vektor nije isti zmíshane tvír vektorív je određen za vježbanje u trivijalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, baš kao u skalarnoj kreaciji, sudjelujte dva vektora. Neka budu besmrtna slova.

sama diya biti imenovan idemo u rang: . Opcije ísnuyut i ínshí, ali također koristim zvuk za označavanje vektora tvir vektora na isti način, u kvadratnim krakovima s križem.

ja odmah hrana: yakscho in skalarno stvaranje vektora uzeti sudbinu dva vektora, i ovdje također pomnožiti dva vektora, onda kakva razlika? Jasna razlika, prvo za sve, kao REZULTAT:

Rezultat stvaranja skalarnog vektora je ê:

VEKTOR: , tada se vektor množi i vektor se ponovno uzima. Zatvoreni klub. Vlasne, zvuk je naziv operacije. U različitoj primarnoj literaturi značenje istog se može mijenjati, biram slovo .

Oznaka stvaranja vektora

Vratit ću se sa slikom, pa komentarima.

Ugovoreni sastanak: Vektorski kreativni nekolinearna vektoriv, preuzeto iz zadanog naloga, pod nazivom VEKTOR, dozhina numerički bolja površina paralelograma, na temelju ovih vektora; vektor ortogonalno na vektore, i smjernice tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Termin biramo po kistovima, ovdje ima puno cikade!

Opet, možete imenovati sljedeće trenutke:

1) Vanjski vektori, označeni crvenim strelicama, za označene nije kolinearna. Vipadok kolínearnyh vektor_v prije rijeke će izgledati trohi pízníshe.

2) Uzmi vektore strogo definiranim redoslijedom: – "a" pomnoženo s "biti", a chi nije "biti" na "a". Rezultat množenja vektoraê Vektor s vrijednostima plave boje. Ako pomnožite vektore y obrnutim redoslijedom, tada oduzimamo vektor jednak udaljenosti i ravni vektor (grimizna boja). Tobto poštena ljubomora .

3) Sada se može prepoznati iz geometrijskog zm_st vektorskog stvaranja. Ovo je iznimno važna točka! Duljina plavog vektora (i također i grimiznoga vektora) brojčano je veća od površine paralelograma, na temelju vektora. Na malom je paralelogram sjenčanja crnom bojom.

Bilješka : fotelja ê shematski, í, naravno, nominalna vrijednost stvaranja vektora nije jednaka površini paralelograma.

Pretpostavljamo jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma je skuplja za dodavanje zbroja strana na sinus reza između njih. Za to, prema gore navedenom, vrijedi formula za izračunavanje DOVZHINI kreacije vektora:

Ponavljam da formule govore o DOLJE vektora, a ne o samom vektoru. Kakav praktični zmist? A smisao je takav da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često poznaje kroz koncept stvaranja vektora:

Uzmimo prijatelja važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crna točkasta crta) dijeli yogo na dva jednaka trikota. Kasnije se područje trikutnika, inspirirano vektorima (crno sjenčanje), može znati po formuli:

4) Ništa manje važna činjenica vjerujemo da je vektor ortogonan na vektore , pa . Razumljivo je da je vektor za ravnanje (grimizna strelica) također ortogonan prema vanjskim vektorima.

5) Vektor ravnanja tako da osnovu svibanj zakon orijentacija. Na lekciji o ići na novu osnovu Izvještavam o orijentacija u ravnini i odmah ćemo shvatiti kakvu orijentaciju prema prostoru. Na prste ću vam objasniti desna ruka. Razmisli o tome prst koji upada u oči s vektorom i srednji prst s vektorom. Domali prst i mali prst pritisnuti dole u dolinu. Kao rezultat palac- Vector tvir je uzbrdo. Cijena i ê desna orijentacija (u samoj maloj skali). Sada se sjetite vektora ( izražajni i srednji prsti) rukama, kao rezultat toga, palac će se rasplamsati, a vektor tvir će se već pomaknuti prema dolje. Ovo je također osnova za orijentaciju udesno. Vjerojatno vam se namiguje hrana: kakvu osnovu mogu imati lijevu orijentaciju? "Pozovite" iste prste lijeva ruka vektori , te oduzimaju lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u mom slučaju, veliki prst je raširen na pravoj liniji donjeg vektora). Slikovito, očito, baze "uvijaju" ili orijentiraju prostor na različitim stranama. A ako to ne razumijemo, razmislimo o tome apstraktno - tako, na primjer, orijentacija prostora mijenja veličinu zrcala, i to je kao "izbiti predmet iz zrcala", onda ne možete ući u "original" u divljini. Prije govora stavite tri prsta na ogledalo i analizirajte dojam ;-)

... još uvijek je dobro, o čemu sada znate desna i lijeva orijentacija baze, strašnija priča takvih predavača o promjeni orijentacije =)

Vektorski tvir kolinearni vektori

Imenovanje je navodno rastavljeno, više nije bilo pojašnjenja, što je potrebno, ako su vektori kolinearni. Kako su vektori kolinearni, onda se mogu proširiti na jednu ravnu liniju, a naš paralelogram također se može saviti u jednu ravnu liniju. Takvo područje, kako se čini matematičarima, virogena Paralelogram je jednak nuli. Tse w vyplivaê i z formule - sinus od nule ili 180 stupnjeva na nulu, a time i kvadrat od nule

U takvom rangu, yakscho, dakle і . Važno je obratiti pažnju na činjenicu da je sam vektor dobutok jednak nultom vektoru, no u praksi je često teško napisati da je i vektor jednak nuli.

Okremy vipadok - vektorski tvir vektora na sebi:

Uz pomoć stvaranja vektora, kolinearnost vektora trivimera može se obrnuti, a zadatak sredine ostalih sukoba može se riješiti.

Za savršenstvo praktične primjene, možda će vam trebati trigonometrijska tablica, pronaći značenje sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

guza 1

a) Znati vrijednost vektorskog stvaranja vektora, dakle

b) Na temelju vektora pronađite površinu paralelograma

Riješenje: Hí, tse nije drukarska pardon, vihídní daní u točkama uma, ja navmisno zrobiv isto. Zato se brine o dizajnerskoj odluci!

a) Potrebno je da um zna dozhina vektor (stvaranje vektora). Za određenu formulu:

Vidpovid:

Ako ste jeli o dovžini, onda se čini da pokazujete mir - usamljenost.

b) Potrebno je da um zna područje paralelogram na temelju vektora. Područje ovog paralelograma je brojčano superiornije od stvaranja vektora:

Vidpovid:

Kako bismo odali počast činjenici da nema upozorenja na vektorsku witting, upitali smo se kvadratne figure vídpovídno rozírníst - kvadní odinítsí.

Uvijek se čudite onome što je potrebno znati izvan uma čisto dokaz. Možete to učiniti sa slovima, ale slovima u sredini vikladachiv vistacha, i uz dobre šanse da se okrenete za dodatni tretman. Iako obrazloženje nije posebno nategnuto - ako nije točno, onda postoji reakcija koju osoba ne razumije u jednostavnim govorima i/ili ne udubljuje se u bit zadatka. U ovom trenutku, morate isprobati kontrolu, virishuyuchi biti poput zavdannya z matematičar i z ínshih predmeta tezh.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, bilo je moguće držati se odluke, ali metodom ubrzavanja snimanja nisam ga ubio. Ja spodívayus, sve zrozumílo, scho i tse značenje jednog te istog.

Popularna guza za neovisnu viziju:

guza 2

Upoznajte područje trikutnika, inspirirano vektorima, yakscho

Formula za površinu trikota kroz vektor dobutok data je u komentarima prije termina. Rješenje je slijediti primjer lekcije.

Dapače, garderoba je stvarno široka, mogu je zarolati s trikoima.

Za realizaciju ostalih zadataka potrebno nam je:

Moć vektorskog kreativnog vektora

Već smo pogledali vođe autoriteta stvaranja vektora, uključit ću ih na popis.

Za više vektora i veći broj vrijede sljedeće moći:

1) U drugim izvorima informacija nadležni organi ne čuju ovu stavku, ali je u praksi još uvijek važna. Pa neka bude.

2) - Snaga tezh rozíbrano više, ínodí yogo poziv antikomutativno. Inače, izgleda, redoslijed vektora može biti značajan.

3) - sretan ili asocijativna zakoni vektorske prakse. Konstanty neprimjetno krivi za kreativnost intervektora. Stvarno, što trebaju učiniti?

4) - rozpodílní abo distributivna zakoni vektorske prakse. Također nema problema za otvaranje okova.

Kao demonstracija gleda se kratka stražnjica:

guza 3

Znati yakscho

Riješenje: Za um je potrebno poznavati područje stvaranja vektora. Napišimo našu minijaturu:

(1) Zgídno z asocijativnim zakonima, krivimo konstantu za stvaranje intervektora.

(2) Krivimo međumodulnu konstantu, njen vlastiti modul ima predznak "minus". Dovzhina može biti negativna.

(3) Shvatio sam dalje.

Vidpovid:

Došao je čas da na vatru dodamo drva:

zadnjica 4

Izračunajte površinu prevaranta, inspiriran vektorima, kao

Riješenje: Površina trikutnika poznata je po formuli . Kvaka je u tome što su sami vektori "ce" i "de" predstavljeni kao zbroj vektora. Algoritam je ovdje standardni i pogodite što, primijenite br. 3 i 4 na lekciju Skalarni tvir vektor_v. Radi jasnoće, rješenje je podijeljeno u tri faze:

1) Na prvom heklanju možemo vidjeti vektor tvir kroz vektor tvir, zapravo, virazimo vektor kroz vektor. O dozhini još uvijek nema riječi!

(1) Predstavljen brojnim vektorima.

(2) Vikoristovuyuchi distributivni zakoni, otvarajući lukove za pravilo množenja bogatih pojmova.

(3) Vikoristovuyuchi asocijativni zakon, krivimo sve konstante za intervektorske kreacije. S malim dosvídí díí̈ 2 í 3 moguće je pobijediti jedan sat.

(4) Prije svega, ostali dodaci nuli (nulti vektor) su nagrade primanja moći. Drugi dodatak ima moć antikomutativnosti stvaranja vektora:

(5) Predloži slične dodanke.

Kao rezultat toga, vektor se pojavio kroz vektor, što je potrebno postići:

2) U drugoj fazi, znat ćemo duljinu kreiranja vektora koja nam je potrebna. Tsya deya pogađa guzu 3:

3) Znamo područje shukan tricoutnika:

Faze 2-3 rješenja mogu se završiti u jednom redu.

Vidpovid:

Pogledajte zadatke koje trebate završiti šire kontrolni roboti, Osovina za neovisnu viziju:

guza 5

Znati yakscho

Ukratko, rješenje je ilustrirati lekciju. Začudo, koliko ste poštovali prednje zadnjice ;-)

Vektor tvír vektorív y koordinate

, dano u ortonormalnoj bazi , izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornjem redu označitelja ispisani su koordinatni vektori, u drugom i trećem redu koordinate vektora su „složene“, štoviše, u strogom redu- Prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate "double-ve" vektora. Ako vektore treba pomnožiti drugim redoslijedom, retke treba zapamtiti kao razmake:

guza 10

Provjerite, koji su sljedeći vektori i prostor:
a)
b)

Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od čvrstih tvari dana lekcija: kao vektori i kolinearni, njihov vektor tvir jednak je nuli (nulti vektor): .

a) Vektorski TV poznajemo:

Na ovaj način vektori nisu kolinearni.

b) Vektorski TV poznajemo:

Vidpovid: a) nije kolinearna; b)

Os, možda, i sve glavne informacije o stvaranju vektora vektora.

Tsej rasdíl bude mali, oskolki zavdan, de vikoristovuetsya zmíshane tvír vektorív, nije bogat. Praktički sve će se uklopiti u dizajn, geometrijsku promjenu i sprat radnih formula.

Zmishany TV vektor:

Os toliko smrdi kao vlak i provjerite, ne provjeravajte, jesu li napunjene.

Na potiljku ću ponovo otkriti tu sliku:

Ugovoreni sastanak: Kreirano kreativno nekoplanarni vektoriv, preuzeto iz zadanog naloga, nazvao obsyag paralepiped, na temelju ovih vektora, sa znakom “+”, dakle baza je desna, a znakom “–”, dakle baza je lijeva.

Vidimo malene. Nama nevidljive linije križane su isprekidanom linijom:

Zanuryuëmosya na terminu:

2) Uzmi vektore redom pjesama, pa permutacija vektora u stvaranju, kako pretpostavljate, ne prolazi bez tragova.

3) Prije toga, kao komentar geometrijske promjene, navest ću očitu činjenicu: zm_shany tv_r vectorív ê BROJ: . U početnoj literaturi dizajn može biti nekako drugačiji, mislim da je zvuk zmishane tvir kroz, a rezultat se izračunava slovom “ne”.

Za termin zmíshany tvír - tse obsyag paralelepiped, na temelju vektora (slika je prekrižena crvenim vektorima i linijama crne boje). To je broj starog obyagu ovog paralelepipeda.

Bilješka : stolice su skicirane.

4) Ne pokušavajte ponovno razumjeti orijentaciju baze i prostora. Osjećaj završnog dijela onoga tko može uzeti obavezni znak je minus. Jednostavnim riječima, Zmishane tvir može biti negativan: .

Slijedi formula za izračunavanje volumena paralelepipeda na temelju vektora.

Za vektore , i , zadane njihovim koordinatama , razlika tvir izračunava se prema sljedećoj formuli: .

Zmíshany tvír zastosovuyut: 1) za izračunavanje obsyagív tetraedra i paralelepipeda, na vektorima , i , kao na rubovima, prema formuli: ; 2) yak umova komplanarnost vektora , i : i - complanarní.

Tema 5. Ravne linije i ravni.

Normalni vektor linija , svaki vektor okomica na zadani pravac koji nije nula naziva se. Izravni vektor izravno , svaki vektor koji nije nula paralelan s ravnom crtom naziva se.

Ravno na stanu

1) - divlje jednake ravna crta, de normalni vektor ravna crta;

2) - Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz točku okomitu na dati vektor;

3) kanonski jednaka );

4)

5) - poravnanje ravnih linija s koeficijentom rezanja , de - Točka kroz yaku je ravno proći; () - Kut, koji je izravno skladište težine; - Dovzhina vídrízka (zí zí znak) scho vídsíkaêtsya izravno na osi (znak "", tj. vídrízok vídsíkaêtsya na pozitivnom dijelu osi i "", tj. na negativnom).

6) - poravnanje ravnih linija na vjetrobranima, de i - dozhini vídrízkív (zí znak), koji se vide ravno na koordinatnim osi i (znak "", tj. vídrízok vídsíkaêtsya na pozitivnom dijelu osi "", tj. na negativnom).

Hodajte od točke do ravne linije , Dodijeljeno dubokim razinama u stanu, poznato po formuli:

kut, ( )između ravnih linija i , postavljanjem najviših jednakih ili jednakih s najvišim koeficijentom, koji će biti poznati za jednu od sljedećih formula:

Yakshcho abo.

Yakshcho abo

Koordinatne točke križne linije te kako riješiti sustav linearnih linija: ili .

Vektor normalne ravnine , svaki vektor okomica na danu ravninu koji nije nula naziva se.

ravan koordinatni sustav može se postaviti jednak jednom od naprednih pogleda:

1) - divlje jednake area, de normal area vektor;

2) - niveliranje ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na zadani vektor;

3) - Rivnyannya stan, scho proći kroz tri točke i ;

4) - izravnavanje područja na vjetrobranima, de , i - Dini vídrízkív (zí znak), koje se vidi ravninom na koordinatnim osi , i (znak "", tj. vídrízok vídsíkaêtsya na pozitivnom dijelu osi i "", tj. na negativnom).

V_dstan v_d pokazuje na ravninu , Dodijeljen gorljivim jednakima, da zna formulu:

kut,( )između stanova í , dano pocinčanim jednakima, nalazi se iza formule:

Ravno u svemiru koordinatni sustav može se postaviti jednak jednom od naprednih pogleda:

1) - divlje jednake ravna crta, kao crta između dvije ravnine, denormalni vektori ravnina i ;

2) - Poravnavanje ravne da prolazi kroz točku paralelnu danom vektoru ( kanonski jednaka );

3) - Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz dvije zadane točke;

4) - poravnanje ravne linije koja prolazi kroz točku paralelnu danom vektoru, ( parametarsko poravnanje );

kut, ( ) između ravnih linija і u svemiru , S obzirom na kanonske ekvivalentnosti, slijedite formulu:

Koordinate točaka linije , dano parametarskim jednakostima taj stan , dodijeljene glavnim linijama, ponovno kupuju kao razdvajanje sustava linearnih linija: .

kut, ( ) između ravne linije , postavljen kanonskim jednakima taj stan , Dodijeljen gorljivom jednako je znati formulu:

Tema 6. Krivulje drugačijim redoslijedom.

Algebarske krivulje različitog reda krivulja se naziva u koordinatnom sustavu, divlje jednake kako mogu izgledati:

de brojevi - ne dosežu nulu preko noći. Sada slijedi klasifikacija krivulja drugačijim redoslijedom: 1) yakshcho , tada žestoko jednak pokazuje krivulju eliptičnog tipa (opseg (na ), elíps (na ), prazan množitelj, točka); 2) yakscho, zatim - krivulja hiperbolički tip (hiperbola, par ravnih linija koje su zatamnjene); 3) yakscho, zatim - krivulja parabolički tip(parabola, prazna bezlična, ravna linija, par paralelnih linija). Zovu se krug, elips, hiperbola i parabola nedjevičanske krivulje različitog reda.

Zagalne rivnyannya , de , Ono što označava nevirogenu krivulju (kolo, elips, hiperbola, parabola), zavzhdi (metodom gledanja vanjskih kvadrata) može se dovesti do poravnanja jednog od naprednih pogleda:

1a) - poravnanje kočića sa središtem u točki i polumjeru (slika 5).

1b)- poravnanje elipse sa središtem u točki i osi simetrije, paralelne s koordinatnim osi. Zovu se brojevi sjemenke elipse glavni pravokutnik elipsa; vrhovi elipse .

Za izradu elípsa u koordinatnom sustavu: 1) središte elipse je vidljivo; 2) provodi se kroz središte isprekidane linije osi simetrije elipse; 3) glavni pravokutnik elipse bit će točkasta linija sa središtem i stranicama paralelnim s osi simetrije; 4) prikazujući suktilnu liniju elipse, uklapajući ih u glavni pravokutnik elipse, stojeći s druge strane na vrhu elipse (slika 6.).

Slično, bit će kolo, glavni pravokutnik bilo koje strane (slika 5).

sl.5 sl.6

2) - izjednačavanje hiperbole (naslovi pov'yazanimi) sa središtem u točki i osi simetrije paralelne s koordinatnim osi. Zovu se brojevi s hiperbolom ; pravokutnik sa stranicama paralelnim s osi simetrije i središtem u točki - hiperbola glavnog pravokutnika; križne točke glavnog pravokutnika s osi simetrije - vrhovi hiperbole; ravne linije, koje prolaze kroz proliferirajuće vrhove glavnog pravokutnika - asimptote hiperbole .

Da biste izazvali hiperbolu u koordinatnom sustavu: 1) središte hiperbole je očito; 2) izvedena kroz središte isprekidane linije osi simetrije hiperbole; 3) glavni pravokutnik hiperbole sa središtem i stranicama i paralelan s osi simetrije bit će točkasta linija; 4) povučeni kroz izvučene vrhove glavnog pravokutnika isprekidanom linijom, koji su asimptote hiperbole, koji nisu bliski, s nejasnim razmakom u klipu koordinata, hiperbolni grebeni se približavaju, a ne preklapaju se; 5) prikazana suktilnom linijom hiperbole (slika 7) ili hiperbole (slika 8).

mali 7 mali 8

3a)- poravnanje parabole s vrhom u točki simetrije, paralelno s koordinatnom osi (slika 9.).

3b)- poravnanje parabole s vrhom u točki simetrije, paralelno s koordinatnom osi (slika 10.).

Za stvaranje parabole u koordinatnom sustavu: 1) pokazati vrh parabole; 2) povučen kroz vrh isprekidanom linijom sve simetrije parabole; 3) prikazuje pomoćnu liniju parabole, s ravnom linijom igle, s fiksnim predznakom parametra parabole: at - u negativnom smjeru koordinatne osi (sl. 9b i 10b).

Riža. 9a Mal. 9b

Riža. 10a Mala. 10b

Tema 7. Anonimno. Brojčani množitelji. funkcija.

Pid bezličan razumjeti na jedan dan slijed objekata slične prirode, zapamćenih jedni od drugih i mislim kao jedinstvena cjelina. Predmeti koji postaju bezlični nazivaju se jogom elementi . Bagato može biti neiscrpan (akumulira se od neiscrpnog broja elemenata), kraj (akumulira se od nebrojenog broja elemenata), prazan (ne osvetiti isti element). Bezlično znači:, kao elementi:. Prazna višestrukost znači.

Bezimeno ime množio množi, tako da svi elementi množitelja leže u višestrukosti i zapiši. Bezimeni i ime jednak , kao da se smrad stvara od samih tihih elemenata i zapisa. Dva množenja bit će jednaka istom i samo malo istom, ako i .

Bezimeno ime univerzalni (U okviru ove matematičke teorije) , yakscho yogo elementi su svi objekti koji se vide u ovoj teoriji.

Bezlich možete pitati: 1) pererakhuvannyam sve yogo elemente, na primjer: (umnožava se manje od kíntsevih); 2) zavdannya pravila za dodjelu pripadnosti elementu univerzalnog množitelja, zadanog množitelja: .

Ujedinjen

Peretin mnogi i nazivaju se bezličnim

Maloprodaja mnogi i nazivaju se bezličnim

Dodaci množitelj (do univerzalnog množitelja) naziva se bezličnim.

Zovu se dva množenja ekvivalent i napisati ~ kako se između elemenata ovih višekratnika mogu međusobno nedvosmisleno postaviti. Bezlično se zove rakhunkovim , što je ekvivalentno neosobnim prirodnim brojevima : ~ . Prazan prostor za termine za ležanje u bolnici.

Razumijevanje nepropusnosti množitelja okrivljuje se kada je višestrukost jednaka broju elemenata koji su skriveni u njima. Pritisak množitelja znači. Intenzitet konačnog množitelja je količina yogo elemenata.

Ekvivalentni množitelji mogu biti jednaki napetosti. Bezlično se zove nerazlučiv , zbog čega je nepropusnost veća za nepropusnost množitelja.

Diysnim (govor) broj naziva bezbrojne desetke driba, snimljenih sa znakom "+" ili "". Iz točaka brojčane ravne crte izvlače se točni brojevi. modul (apsolutna vrijednost) decimalnog broja naziva se nepoznati broj:

Bezlično se zove numerički , yakscho yogo elementi ê díysní brojevi. pauze mnozici brojeva nazivaju se: , , , , , , , , , .

Odsutnost svih točaka na brojevnoj pravoj, što godi umu, de - skilki je uvijek mali broj, tzv. -periferiji (ili samo periferije) označene su točke i. Bezličnost svih točaka uma, de - skilki je uvijek veliki broj, zove se - periferiji (ili samo periferije) nedosljednosti i označavaju.

Poziva se vrijednost koja zauzima jednu te istu brojčanu vrijednost brzo. Vrijednost koja uzima različite numeričke vrijednosti naziva se zminnoy. funkcija pravilo se zove, kako se broj kože stavlja u jedan cijeli broj, ja pišem. Bezlično se zove područje imenovanja funkcije, - bezličan ( ili regije ) vrijednost funkcije, - argument , - vrijednosti funkcije . Najopsežniji način definiranja funkcije je analitička metoda u kojoj se funkcija definira formulom. Određeno prirodno područje Funkcija se naziva neosobna vrijednost argumenta, za koju je data formula ma sens. Funkcija rasporeda , U pravokutnom koordinatnom sustavu , naziva se neosobna točka ravnine s koordinatama .

Funkcija se poziva sauna na množitelju, simetričnom do točke, jer svi umovi pobjeđuju: i nespareni kako osvojiti um. Na drugačiji način – funkcija stranog uma odn niti upariti niti razdvojiti .

Funkcija se poziva periodično na množini, što je glavni broj ( razdoblje funkcije ), takav da svatko osvoji pamet: . Najmanji broj naziva se glavno razdoblje.

Funkcija se poziva monotono raste (jenjavanje ) množiteljem, jer veća vrijednost argumenta daje veću (manju) vrijednost funkcije.

Funkcija se poziva obmezhenoyu na množini, što je broj, takav da svi osvajaju umove:. Na drugi način, funkcija - nije obrubljen .

Zvorotny funkcionirati , takva se funkcija zove, kako je označena na bezličnim i kožom

Postavite na vídpovídníst tak, scho. Za znahodzhennya funktíí̈, zvorotnoí̈ na funktíí̈ , potrebno je da muškost jednaka shodo. Koja je funkcija , ê strogo monotono na, dolazi do okretanja, na svoju ruku, kako se funkcija povećava (mijenja), onda i povratna funkcija raste (smanjuje).

Funkcija, koja se vidi, de, je funkcija takve funkcije, da se područje koje je dodijeljeno funkciji zamijeni bezosobne vrijednosti funkcije, naziva se funkcija preklapanja neovisni argument. Promjena se naziva svojim srednjim argumentom. Funkcija koja se može sklopiti naziva se i sastavom funkcija i napišite: .

Osnovni elementarni važne su funkcije: statički funkcija, pokazujući funkcija ( , ), logaritamski funkcija ( , ), trigonometrijski funkcije , , , , okretanje trigonometrijski funkcije , , , . Osnovna poziva se funkcija, odvojena od osnovnih elementarnih funkcija konačnim brojem aritmetičkih operacija i sastava.

Što se tiče zadataka rasporeda funkcije, tada će raspored funkcije biti doveden do brojnih transformacija (zsuv, stiskanje ili rastezanje, pretjerivanje) grafika:

1) 2) transformacija simetrično prikazuje raspored osi; 3) transformacija lomi graf duž osi za jedan (- desno, - lijevo); 4) okretanje grafikona duž osi na jedan (- uzbrdo, - dolje); 5) prerada rasporeda osi osi istezanje s vremena na vrijeme, kao s vremena na vrijeme stiskanje, kao; 6) prerada rasporeda je na momente stiskanje osi, to je kao da je na trenutke rastegnemo, to je kao.

Slijed transformacija u slučaju brzog rasporeda funkcije može se simbolički vidjeti:

Bilješka. U slučaju vikonanní transformacije síd na uvazí, scho vrijednost zsuv vzdovj osí vyznaêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê ijom konstante, yak dodati bez posrednika u argument, a ne u argument.

Graf funkcije je parabola s vrhom u točki, igle su ravne uzbrdo ili dolje, kao. Graf frakcijsko-linearne funkcije je hiperbola sa središtem u točki, čije asimptote prolaze kroz središte, paralelno s koordinatnim osi. koji zadovoljavaju umove. pozvao.

Za vektore, i, zadane koordinate, , zmishane tvir izračunavaju se prema sljedećoj formuli: .

Zmíshany tvír zastosovuyut: 1) za izračunavanje obsyagív tetraedra i paralelepipeda, na vektorima , i , kao na rubovima, prema formuli: ; 2) yak umova komplanarnost vektora , i : i - complanarní.

Tema 5. Linije na stanu.

Normalni vektor linija , svaki vektor okomica na zadani pravac koji nije nula naziva se. Izravni vektor izravno , svaki vektor koji nije nula paralelan s ravnom crtom naziva se.

Ravno na stanu koordinatni sustav može se postaviti jednak jednom od naprednih pogleda:

1) - divlje jednake ravna crta, de normalni vektor ravna crta;

2) - Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz točku okomitu na dati vektor;

3) - Poravnavanje ravne da prolazi kroz točku paralelnu danom vektoru ( kanonski jednaka );

4) - Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz dvije zadane točke;

5) - poravnanje ravnih linija s koeficijentom rezanja , de - Točka kroz yaku je ravno proći; () - Kut, koji je izravno skladište težine; - Dovzhina vídrízka (zí zí znak) scho vídsíkaêtsya izravno na osi (znak "", tj. vídrízok vídsíkaêtsya na pozitivnom dijelu osi i "", tj. na negativnom).

6) - poravnanje ravnih linija na vjetrobranima, de i - dozhini vídrízkív (zí znak), koji se vide ravno na koordinatnim osi i (znak "", tj. vídrízok vídsíkaêtsya na pozitivnom dijelu osi "", tj. na negativnom).

Hodajte od točke do ravne linije , Dodijeljeno dubokim razinama u stanu, poznato po formuli:

kut, ( )između ravnih linija i , postavljanjem najviših jednakih ili jednakih s najvišim koeficijentom, koji će biti poznati za jednu od sljedećih formula:

Yakshcho abo.

Yakshcho abo

Koordinatne točke križne linije te kako riješiti sustav linearnih linija: ili .

Tema 10 Anonimno. Brojčani množitelji. Mogućnosti.

Pid bezličan razumjeti na jedan dan slijed objekata slične prirode, zapamćenih jedni od drugih i mislim kao jedinstvena cjelina. Predmeti koji postaju bezlični nazivaju se jogom elementi . Bagato može biti neiscrpan (akumulira se od neiscrpnog broja elemenata), kraj (akumulira se od nebrojenog broja elemenata), prazan (ne osvetiti isti element). Bezlično znači:, kao elementi:. Prazna višestrukost znači.

Bezimeno ime množio množi, tako da svi elementi množitelja leže u višestrukosti i zapiši.

Bezimeni i ime jednak , kao da se smrad stvara od samih tihih elemenata i zapisa. Dva množenja bit će jednaka istom i samo malo istom, ako i .

Bezimeno ime univerzalni (U okviru ove matematičke teorije) , yakscho yogo elementi su svi objekti koji se vide u ovoj teoriji.

Bezlich možete pitati: 1) pererakhuvannyam sve yogo elemente, na primjer: (umnožava se manje od kíntsevih); 2) zavdannya pravila za dodjelu pripadnosti elementu univerzalnog množitelja, zadanog množitelja: .

Ujedinjen

Peretin mnogi i nazivaju se bezličnim

Maloprodaja mnogi i nazivaju se bezličnim

Dodaci množitelj (do univerzalnog množitelja) naziva se bezličnim.

Zovu se dva množenja ekvivalent i napisati ~ kako se između elemenata ovih višekratnika mogu međusobno nedvosmisleno postaviti. Bezlično se zove rakhunkovim , što je ekvivalentno neosobnim prirodnim brojevima : ~ . Prazan prostor za termine za ležanje u bolnici.

Diysnim (govor) broj naziva bezbrojne desetke driba, snimljenih sa znakom "+" ili "". Iz točaka brojčane ravne crte izvlače se točni brojevi.

modul (apsolutna vrijednost) decimalnog broja naziva se nepoznati broj:

Bezlično se zove numerički yakscho yogo elementi ê díysní brojevi. Brojčana pauze nazivaju se višekratnicima

brojevi: , , , , , , , , , .

Odsutnost svih točaka na brojevnoj pravoj, što godi umu, de - skilki je uvijek mali broj, tzv. -periferiji (ili samo periferije) označene su točke i. Bezličnost svih točaka uma, de - skilki je uvijek veliki broj, zove se - periferiji (ili samo periferije) nedosljednosti i označavaju.

Poziva se vrijednost koja zauzima jednu te istu brojčanu vrijednost brzo. Vrijednost koja uzima različite numeričke vrijednosti naziva se zminnoy. funkcija pravilo se zove, kako se broj kože stavlja u jedan cijeli broj, ja pišem. Bezlično se zove područje imenovanja funkcije, - bezličan ( ili regije ) vrijednost funkcije, - argument , - vrijednosti funkcije . Najopsežniji način definiranja funkcije je analitička metoda u kojoj se funkcija definira formulom. Određeno prirodno područje Funkcija se naziva neosobna vrijednost argumenta, za koju je data formula ma sens. Funkcija rasporeda , U pravokutnom koordinatnom sustavu , naziva se neosobna točka ravnine s koordinatama .

Funkcija se poziva sauna na množitelju, simetričnom do točke, jer svi umovi pobjeđuju: i nespareni kako osvojiti um. Na drugačiji način – funkcija stranog uma odn niti upariti niti razdvojiti .

Funkcija se poziva periodično na množini, što je glavni broj ( razdoblje funkcije ), takav da svatko osvoji pamet: . Najmanji broj naziva se glavno razdoblje.

Funkcija se poziva monotono raste (jenjavanje ) množiteljem, jer veća vrijednost argumenta daje veću (manju) vrijednost funkcije.

Funkcija se poziva obmezhenoyu na množini, što je broj, takav da svi osvajaju umove:. Na drugi način, funkcija - nije obrubljen .

Zvorotny funkcionirati , takva se funkcija naziva, jer je označena na bezličnoj i dermalnoj osnovi da se tako izrazi. Za znahodzhennya funktíí̈, zvorotnoí̈ na funktíí̈ , potrebno je da muškost jednaka shodo. Koja je funkcija , ê strogo monotono na, dolazi do okretanja, na svoju ruku, kako se funkcija povećava (mijenja), onda i povratna funkcija raste (smanjuje).

Funkcija, koja se vidi, de, je funkcija takve funkcije, da se područje koje je dodijeljeno funkciji zamijeni bezosobne vrijednosti funkcije, naziva se funkcija preklapanja neovisni argument. Promjena se naziva svojim srednjim argumentom. Funkcija koja se može sklopiti naziva se i sastavom funkcija i napišite: .

Osnovni elementarni važne su funkcije: statički funkcija, pokazujući funkcija ( , ), logaritamski funkcija ( , ), trigonometrijski funkcije , , , , okretanje trigonometrijski funkcije , , , . Osnovna poziva se funkcija, odvojena od osnovnih elementarnih funkcija konačnim brojem aritmetičkih operacija i sastava.

Graf funkcije je parabola s vrhom u točki, igle su ravne uzbrdo ili dolje, kao.

U nekim slučajevima, kada se raspored funkcije postupno dijeli, prostor se određuje za papalinu prostora, koji se ne preklapaju, a naknadno će im raspored biti na koži.

Zove se koža narudžbi koje upisuju iz stvarnih brojeva točka -mirna aritmetika (Koordinirati) prostor i označeni su ili, po svom broju zovu se í̈í̈ koordinate .

Neka í - deyaki množi bodove í. Ako se kožne točke stave istovremeno s pravilom palca za jedan cijeli broj, onda se čini da je na množitelj postavljena numerička funkcija u obliku promjena i napiše se ili ukratko upiše i, s kojim se zove područje imenovanja , - besmisleno značenje , - argumentima (neovisna promjena) funkcije.

Često se koristi funkcija dvije varijable, funkcija tri varijable -. Opseg funkcije je papalina točke ravnine, funkcija je papalina točke prostora.

Tema 7. Brojčani nizovi i redovi. Između sekvenci. Između funkcija i kontinuiteta.

Kao prirodni broj kože, prema deaky pravilu, postavlja se na jedan cijeli broj, tada se čini da je zadan numerički niz . Znači ukratko. Broj se zove pospani član niza . Niz se također naziva funkcija prirodnog argumenta. Posljedice uvijek moraju osvetiti neosobne elemente, među kojima mogu biti jednaki.

Broj se zove granični slijed , i napišite, kao da postoji neki datum, postoji broj takav da će doći do neravnoteže.

Posljedica, koja može biti kraj granice, zove se sličan , na drugačiji način - raspršiti .

: 1) jenjavanje , yakscho; 2) rastući , yakscho; 3) skupo , yakscho; 4) nerast yakscho. Zovu se sve reinkarnacije i više sekvenci monotonija .

Slijed se zove obmezhenoyu , što je broj takvih da svi osvajaju um: . Na drugačiji način, slijed - nije obrubljen .

Bio monoton, slijed može biti između ( Weierstrassov teorem).

Slijed se zove beskrajno mali yakscho. Slijed se zove beskrajno velik (što ići na neskíchenností), yakshcho.

broj zove između sekvenci, de

Postiyna se naziva nejednakim brojem. Logaritam broja na bazi naziva se prirodni logaritam broja i dodjeljuje se.

Viraz um, de - niz brojeva, zv brojčano blizu ja budem imenovan. Zove se zbroj prvih članova u nizu -Oh s privatnom svotom red.

Red se zove sličan yakscho rozbízhnym kao da nema granice. Broj se zove sumo row što ići , kada napisati.

Ako se nizovi konvergiraju, onda (nužan znak udobnosti u nizu ) . Zvorotna čvrstoća je pogrešna.

Yakshcho, zatim se redovi razilaze ( dovoljan znak različitosti u nizu ).

Prosvijetljen harmonijama u blizini imenovati niz koji konvergira za i divergira za.

Geometrijski sljedeći naziv niza koji konvergira na , na vlastiti zbroj je skuplji i divergira na . postoji simbol broja chi. (lijeva baklja, desna baklja) i