Vektorių praktikos taisyklė. Vektorius vitvir vector_v
Vektorius vitvir- tse pseudovektorius, statmenas plokštumai, pobudovanoї ant dviejų spіvdaugiklių, kuris yra dvejetainės operacijos "vektoriaus dauginimas" per vektorius trivialioje euklidinėje erdvėje rezultatas. Vektoriaus tvir neturi komutatyvumo ir asociatyvumo (є antikomutatyvumo) galios, ant vіdminu vіd skaliarinio vektoriaus kūrimo, є vektoriaus. Plačiai išsiskiria gausiais techniniais ir fiziniais priedais. Pavyzdžiui, impulsas ir Lorenco jėga yra matematiškai parašyti kaip vektorinė sandauga. Korisny vektorinis išplėtimas, skirtas vektorių statmenumui "apsukti", yra dviejų vektorių kūrimo modulis, papildantis jų modulius, nes jie yra statmeni, ir keičiasi į nulį, nes vektoriai yra lygiagretūs arba priešingi. lygiagrečiai.
Reikšmė vektoriaus witwear galima ir kitaip, ir teoriškai erdvėje, ar yra n plotis, galima suskaičiuoti papildomus n-1 vektorius, atimant iš savo vienintelio vektoriaus, statmenai jiems visiems. Bet jei tvir yra apsuptas netrivialių dvejetainių kūrinių su vektoriniais rezultatais, tai tradicinis vektorinis tvir priskiriamas tik trivialioms ir septynių pasaulių erdvėms. Vektoriaus, kaip ir skaliarinio, sukūrimo rezultatas slypi Euklido erdvės metrikoje.
Kita vertus, vektorinio skaliarinio objekto koordinačių skaičiavimo formulė trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje;
Paskyrimas:
Vektoriaus a vektoriaus papildymas vektoriui b erdvėje R 3 vadinamas vektoriumi c
Vektoriaus ilgis c
|c|=|a||b|sin φ;
vektorius c statmenas odos vektoriui s a ir b;
taisymų vektorius c, kad abc vektorių trejybė būtų teisinga;
erdvei R7 reikalingas vektorių trijulės a, b, c asociatyvumas.
Pavadinimas:
c===a×b
Ryžiai. 1. Lygiagretainio plotas lygus vektoriaus kūrimo moduliui
Vektorinio meno geometrinė galia:
Būtinas ir pakankamas dviejų nulinių vektorių protinis kolineariškumas yra nulio lygybė jų vektoriaus sukūrimui.
Vektorinis kūrybinis modulis dorivnyuє sritis S lygiagretainis, įkvėptas iki burbuolės redukuotų vektorių aі b(Padalinys 1 pav.).
Jakšo e- vienas vektorius, stačiakampis vektorius aі b o vibraniumo taip, kad trys a,b,e- teises ir S- ant jų indukuoto lygiagretainio plotas (nurodantis į burbuolę), tada vektoriui sukurti galioja ši formulė:
=S e
2 pav. Gretasienio tūris su vektoriaus kaita ir vektorių skaliariniu kūrimu; punktyrinės linijos rodo vektoriaus c projekcijas ant a × b ir vektoriaus a projekcijas ant b × c, pirmoji eilutė yra skaliarinių kūrinių reikšmė
Jakšo c- koks vektorius, π
- be-yak flat, scho vengeance tsey vektorius, e- vienas vektorius, esantis šalia plokštumos π
i stačiakampis į c,g- vienas vektorius, statmenas plokštumai π
ir tiesinimas taip, kad trys vektoriai ekgє teisingai, tada tam, kuris guli aikštėje π
vektorius a teisinga formulė yra:
=Pr e a |c|g
de Pr e a yra vektoriaus e projekcija į a
|c|-vektoriaus h modulis
Renkantis vektorių ir skaliarinį kūrinį, galite naudoti gretasienį, įkvėptą vektorių, sumažintų iki burbuolės a, bі c. Taigi tvir trys vektoriai vadinami zmishanim.
V=|a (b×c)|
Mažasis parodo, kaip tai galima padaryti dviem būdais: geometrinis rezultatas išsaugomas pakeičiant „skaliarinius“ ir „vektorinius“ kūrinius:
V=a×b c=a b×c
Vektoriaus sukūrimo dydis turi būti pjūvio tarp pirminių vektorių sinuso, tada vektorius tvir gali būti laikomas vektoriaus statmenumo žingsniais tokiu pačiu būdu, kaip ir skaliarinis tvir gali būti vertinamas kaip žingsniai paralelizmas. Vektorinis dviejų pavienių vektorių pridėjimas prie 1 (vienas vektorius), taip pat vektoriai ir statmenai, ir kaip 0 (nulis vektorius), kaip vektoriai ir lygiagrečiai arba antilygiagrečiai.
Viraz vektoriaus kūrimui Dekarto koordinatėmis
Yakscho du vektoriai aі b priskirtos jų stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis arba, tiksliau, pavaizduotos ortonormaliu pagrindu
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
ir koordinačių sistema teisinga, tada jūsų vektorius tvir gali atrodyti
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Norėdami įsiminti ts_єї formules:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- Levi-Chiviti simbolis.
Skaliarinės kūrybos galia
Skaliarinis tvіr vektorіv, vznachennya, viešpatavimas
Tiesinės operacijos vektoriais.
Vektoriai, pagrindinės sąvokos, žymėjimai, tiesinės operacijos su jais
її taškų pora vadinama vektoriumi plokštumoje, tokiu atveju pirmasis taškas vadinamas ausimi, o kitas galas – vektoriumi.
Du vektoriai vadinami lygiais, nes smarvė yra vienoda ir nukreipta kartu.
Vektoriai, esantys vienoje tiesėje, vadinami bendrakrypčiais, nes jie nukreipti kartu su vienu ir tuo pačiu vektoriumi, kuris nėra šioje tiesėje.
Vektoriai, esantys vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse, vadinami kolineariniais, o kolineariniai vektoriai, kurie nėra nukreipti kartu, vadinami priešingais tiesiais.
Vektoriai, esantys ant statmenų tiesių, vadinami stačiakampiais.
Paskyrimas 5.4. sumoyu a+b vektorius_v a і b vadinamas vektoriumi, kuris eina vektoriaus burbuole bet vektoriaus gale b , kaip ir burbuolės vektorius b zbіgaєtsya su vektoriaus pabaiga bet .
Paskyrimas 5.5. Mažmeninė a - b vektorius_v bet і b toks vektorius vadinamas h , kuri yra vektoriaus suma b taip vektorius bet .
Paskyrimas 5.6. Tvoromask a vektorius bet už skaičių k vadinamas vektoriumi b , kolinearinis vektorius bet , kas yra modulis, lygus | k||a |, kad tiesūs, mokyklų mainai zbіgaєtsya s tiesūs | bet adresu k>0 i ilgio bet adresu k<0.
Vektoriaus padauginimo iš skaičiaus galia:
Galia 1. k(a+b ) = k a+ k b.
Galia 2. (k+m)a = k a+ m a.
Galia 3. k(m a) = (km)a .
Paskutinis. Kaip ir nuliniai vektoriai bet і b kolіnearnі, tada іsnuє toks kolіkіst k, ką b= k a.
Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga aі b vadinamas skaičius (skaliarinis), kuris leidžia pridėti du vektorius pagal pjūvio φ kosinusą tarp jų. Skaliarinis tviras gali būti žymimas įvairiais būdais, pavyzdžiui, kaip ab, a · b, (a , b), (a · b). Šia tvarka skaliarinis tvir yra geras:
a · b = |a| · | b| cos φ
Jei norime, kad vienas iš vektorių pasiektų nulį, tada skaliarinis priedas prie nulio.
Permutacijos galia: a · b = b · a(Skaliarinio sukimo daugiklių permutacijos tipas nesikeičia);
· Rozpodіlu galia: a · ( b · c) = (a · b) · c(Rezultatas nėra daugybos tvarka);
Dienos galia (šimtai skaliarinio daugiklio): (λ a) · b = λ ( a · b).
Ortogonalumo (statmens) galia: kaip vektorius aі b ne nulis, jų skaliarinė televizija yra lygi nuliui, tik jei q vektoriai yra stačiakampiai (statmenai vienas vienam) a ┴ b;
Aikštės galia: a · a = a 2 = |a| 2 (paties vektoriaus skaliarinis priedas yra lygus th modulio kvadratui);
Kaip koordinuoti vektorius a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), tada skaliarinė kieta medžiaga yra viena a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Vektorinio vektoriaus laidumas. Paskyrimas: Pagal vektorių suprantamas dviejų vektorių ir vektoriaus kūrimas, kuriam:
Papildomo lygiagretainio ploto modulis, įkvėptas šių vektorių, tobto. , de pjūvis tarp vektorių ta
Tsey vektorius statmenų vektorių, kurie yra padauginti, tobto.
Kadangi vektoriai nėra kolinearūs, smarvė tenkina vektorių trejybės teisę.
Vektoriaus kūrimo galia:
1.Keisdami vektorinės TV daugiklių tvarką, Jūs pakeičiate savo grąžos ženklą, išsaugodami modulį, tobto.
2 .Vektoriaus kvadratas lygus nuliui-vektoriui, tobto.
3 .Skaliarinis daugiklis gali būti kaltas dėl vektoriaus sukurti simbolio tobto.
4 .Bet kokiems trims vektoriams lygybė yra teisinga
5 .Būtinas ir pakankamas dviejų vektorių proto kolinariškumas ir:
Kut mizh vektoriai
Kad galėtume pristatyti dviejų vektorių vektoriaus kūrimo koncepciją, būtina tokias sąvokas surūšiuoti, kad būtų galima iškirpti tarp šių vektorių.
Nagi, mes turime du vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$. Paimkite tašką $O$ erdvėje ir pridėkite vektorius $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$, tada pjūvis $AOB$ bus vadinamas iškirpti tarp su vektoriais (1 pav.).
Parašas: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Vektorinio kūrybinio vektoriaus supratimas
Paskyrimas 1
Dviejų vektorių sukurtas vektorius yra vektorius, statmenas abiem duotiesiems vektoriams, o antrasis vektorius yra veiksmingesnis papildant du vektorius kuta sinusu tarp duotų vektorių, taip pat dviejų burbuliukų vektorius gali turėti ta pati orientacija, kaip ir Dekarto koordinačių sistema.
Reikšminga: $\overline(α)х\overline(β)$.
Matematiškai tai atrodo taip:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ orientacija (2 pav.)
Akivaizdu, kad dabartinis tvir vektorius yra lygus nuliniam vektoriui dviem kryptimis:
- Kiek laiko vienas arba abu vektoriai lygūs nuliui.
- Kaip iškirpti tarp šių dviejų vektorių, lygių $180^\circ$ arba $0^\circ$ (skalės, kurių kryptis sinusas lygus nuliui).
Pirmiausia, kaip žinoti vektorių tvir vektorіv, pažiūrėkite į žemiau esantį tašką, pritaikykite sprendimą.
užpakalis 1
Raskite vektoriaus $\overline(δ)$, kuris bus vektorių sukūrimo rezultatas, reikšmę su $\overline(α)=(0,4,0)$ ir $\overline(β) =(3,0,0 ) $.
Sprendimas.
Vizualizuosime q vektorius ir y Dekarto koordinačių erdvėje (3 pav.):
3 pav. Vektoriai Dekarto koordinačių erdvėje. Autorius24 - Interneto mainai studentų darbais
Bachimo, kad qi vektoriai aiškiai guli ant ašių $Ox$ ir $Oy$. Otzhe, kut mіzh juos dovnyuvatime $90^\circ$. Mes žinome apie šiuos vektorius:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Tada 1 užduočiai imame modulį $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Pasiūlymas: 12 USD.
Vektoriaus kūrimo skaičiavimas vektorių koordinatėms
Z vyznachennya 1 vіdrazu vіplyvaє sposіb znakhodzhennya vektoriaus kūrimas dviem vektoriams. Oskіlki vektorius, krіm znachlennya, maє shche th tiesiogiai, jo neįmanoma žinoti tik dėl papildomo skaliarinio kiekio. Ale krіm naujas іsnuіє sposіb znakhodzhennya už papildomas koordinates, suteiktas mums vectorіv.
Suteikime vektorius $\overline(α)$ i $\overline(β)$, kad galėtume apskaičiuoti koordinates $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, aišku. Tą patį vektoriaus kūrimo vektorių (ir jo koordinates) galima sužinoti pagal šią formulę:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Priešingu atveju, rozkrivayuchi vyznachnik, paimkite tokias koordinates
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
užpakalis 2
Raskite kolinearinių vektorių $\overline(α)$ ir $\overline(β)$ su koordinatėmis $(0,3,3)$ ir $(-1,2,6)$ vektoriaus sukūrimo vektorių.
Sprendimas.
Paspartinti naudojant formulę, kuri buvo sukelta aukštesnė. Atimti
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 - 6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Vertė: $ (12,-3,3) $.
Vektoriaus kūrybinio vektoriaus galia
Per daugiau nei tris pamainas $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$ ir $r∈R$, pažangos galia yra teisinga:
užpakalis 3
Raskite lygiagretainio plotą, kurio viršūnės yra $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ir $(3,8) ,0)$.
Sprendimas.
Užpakalinė dalis koordinačių erdvėje pavaizduota lygiagretainiu (5 pav.):
5 pav. Lygiagretainė koordinačių erdvėje. Autorius24 - Interneto mainai studentų darbais
Bachimo, kad dvi šio lygiagretainio kraštinės buvo įkvėptos papildomų kolinearinių vektorių su koordinatėmis $\overline(α)=(3,0,0)$ ir $\overline(β)=(0,8,0)$. Vikoristovuyuchi ketvirtoji galia, otrimaemo:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Mes žinome vektorių $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Otzhe
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ZMISHANY VIROB TROCH VECTORIV IR YOGO JĖGA
Kūrybinis Zmіshanim trys vektoriai įvardija skaičių, kuris yra geras. būti paskirtas 
. Čia pirmieji du vektoriai dauginami vektoriniu būdu, o tada atimties vektorius skaliariškai padauginamas iš trečiojo vektoriaus. Akivaizdu, kad toks televizorius yra šprotas.
Pažvelkime į mišrios kūrybos galią.
- geometrine prasme beprotiška kūryba. Zmіshane tvir 3 vektoriai, kurių tikslumas iki gretasienio sutapimo ženklo, kuriuos sukelia šie vektoriai, kaip ir prie šonkaulių, tobto. .
Tokiu būdu,
.
įrodymas. Vіdklademo vektoriaus vіd zagalnogo burbuolės ir pobuduєmo ant jų paralepiped. Reikšmingai ir pagarbiai, scho. Skaliarinės kūrimo tikslu
Leisdamas tai, ką žinau h gretasienio aukštį žinome.
Tokiu būdu, at
Na, tada th. Tėvas,.
Ob'ednuyuchi įžeidinėjimai ir vipadki, otrimuєmo arba.
Z zokremo kokybės patvirtinimas yra viplivay, kad trečiasis vektorius yra teisingas, tada zmishane tvir, o yakshcho - leva, tada.
- Nesvarbu, kokie vektoriai , lygybė yra teisinga
Valdžios galios įrodymas akivaizdus iš autoriteto 1. Tiesa, tą parodyti nesunku. Iki tol ženklai „+“ ir „-“ imami vienu metu, nes kuti mizh vektoriai ta і viena valanda gostrі arba kvaila.
- Pertvarkant, ar yra du spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr pakeisti ženklą.
Tiesa, tarsi galėtume pažvelgti į televizijos painiavą, tada, pavyzdžiui, arba
- Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki і, jei іz сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє nulis аbо vektoriai аrе vienodi.
įrodymas.
Įskaitant būtiną ir pakankamą psichinį 3 vektorių koplanarumą ir jų mišrios kūrybos lygybę nuliui. Be to, akivaizdu, kad, pavyzdžiui, trys vektoriai sukuria erdvės pagrindą.
Be vektorių ir užduočių koordinačių formoje, galima parodyti, kad šie pokyčiai žinomi pagal formulę:
.Taigi, trečios eilės zmіshane tvіr dоrіvnyuє vyznachnik, kurio pirmojoje eilėje yra pirmojo vektoriaus koordinatės, kitoje eilėje – kito vektoriaus koordinates, o trečioje eilėje – trečiojo vektoriaus koordinates.
taikyti.
ANALITINĖ GEOMETRIJOS ERDVĖJE
Rivnija F(x, y, z)= 0 yra priskirtas tarpai Oxyz deaku paviršius, tobto. geometrinis vietos taškas, kurio koordinatės x, y, z patenkinti tą, kuris pavydi. Tiesė vadinama lygi paviršiui, ir x, y, z- dabartinės koordinatės.
Tačiau dažnai paviršiaus prašoma ne lygių, o kaip beasmenio erdvės taško, kuris gali turėti tą kitą galią. Ir čia reikia žinoti paviršiaus lygiavertiškumą, iš її geometrinių galių.
SRITIS.
NORMALUS SRITIES VEKTORIAUS.
LĖKTUVO IŠLYGINIMAS, KAD PER DUOTINĄ TAŠKĄ PRAŽIUOŠI
Pažiūrėkime į didelio ploto σ plotį. Padėtis priklauso nuo duoto vektoriaus, statmeno duotai plokštumai, tam fiksuotam taškui M0(x0, y 0, z0), esantis netoli plokštumos σ.
Vektorius, statmenas plokštumai σ, vadinamas normalus vektoriaus qієї sritis. Tegul vektorius turi koordinates.
Matome, kad plokštuma σ lygi eina per qi tašką M0 ir gali būti normalus vektorius. Kuriam plokštumoje σ paimame pakankamą tašką M(x, y, z)žiūriu į vektorių.
Kad ir kaip būtų MО σ vektorius Tsya pavydas yra taško protas MО σ. Tai teisinga visiems plokštumos taškams ir sugenda, kaip tik taškas M atlošas poza su plokštuma σ.
Kaip sužinoti per taško spindulį-vektorių M, yra taško spindulio vektorius M0, tada iš pirmo žvilgsnio galima įrašyti tą lygybę
Tse lygus vadinamas vektorius lygus plotui. Parašykime jogą koordinačių forma. Tada Oscilki
Otz, mes pašalinome ploto lygumą, kad praleistume šį tašką. Tokiu būdu, norint sulenkti plokštumos plokštumą, reikia žinoti normalaus vektoriaus koordinates ir dvitaškio koordinates, kurios yra plokštumoje.
Pagarbiai, kad plokštuma lygi srauto koordinačių 1 pakopai x, yі z.
taikyti.
LĖKTUVA ZAGALNE RIVNYANNYA
Ar galite parodyti, kaip pirmasis žingsnis yra lygus Dekarto koordinatėms x, y, zє lygus deykoї plotui. Kaina įrašoma taip:
Ax+By+Cz+D=0
ir yra vadinamas laukinis pavydas plokštumos ir koordinates A, B, Cčia yra ploto normaliojo vektoriaus koordinatės.
Pažvelkime į siaubingo pavydo apylinkes. Žinoma, kai koordinačių sistemos plokštuma yra išplečiama, tai reiškia, kad vienas ar kitas lygiavimo koeficientas yra pakoreguotas iki nulio.
A - vіdrіzka šerdis, kurią mato plokštuma ant ašies Jautis. Panašiai galima parodyti, kad bі c- Dovzhini vіdrіzkіv, mokyklų mainai vіdsіkayutsya butas ant ašių, mokyklų mainai turi būti matomi. Achі Ozas.
Rivnyannyam butai prie vėjo užtvarų yra patogu apdeginti, norint pakelti butus.
