Площа фігури по точках формули. Формула піку у шкільному курсі планіметрії
РЕФЕРАТ
ЗА ТЕМОЮ «Багатокутники на ґратах. ФОРМУЛА ПІКА.»
Підготувала учениця 9 «Б»
Баранова Олександра
Вступ
Клітчастий папір (точніше - його вузли), на якому ми часто вважаємо за краще малювати і креслити, є одним з найважливіших прикладів точкових грат на площині. Вже ця проста грати послужила К. Гауссу відправною точкою для порівняння площі кола з кількістю точок з цілими координатами, що знаходяться всередині нього. Те, що деякі прості геометричні твердження про фігури на площині мають глибокі наслідки в арифметичних дослідженнях, було явно помічено Г. Мінковським у 1896 р., коли він уперше для розгляду теоретико-числових проблем залучив геометричні методи.
Грати на площині є потужним засобом, який дозволяє перекладати аналітичні завдання геометричною мовою і назад. Рух на цьому своєрідному мосту між аналізом та геометрією став досить інтенсивним та двостороннім.
Грати на площині та у просторі
Розглянемо на площині два сімейства паралельних прямих, що розбивають площину на рівні паралелограми; безліч L всіх точок перетину цих прямих (або безліч вершин усіх паралелограмів) називається точковими ґратами або просто ґратами, а самі точки - вузлами ґрат. Будь-який з цих паралелограмів називається фундаментальним паралелограмом або паралелограмом, що породжує решітку.
Задати грати можна ще й так. Припустимо, що на площині
задані дві прямі l0 і m0, що перетинаються, а також два позитивні числа a і b. По обидва боки від прямої l0 проведемо паралельні прямі l±1, l±2, l±3, на відстані a, 2a, 3a, від неї. Аналогічно по обидва боки від прямої m0 на відстані b, 2b, 3b, ... проведемо прямі m±1, m±2, m±3,…
Зазначимо всі точки перетину прямих l i c прямими m j; безліч всіх цих точок перетину і є решіткою L
Важливо мати на увазі, що грати складаються з точок (вузлів), а самі
прямі до неї не належать. Одна і та ж грати може бути отримана
за допомогою різних сімейств паралельних прямих.
Відзначимо ряд найпростіших властивостей довільних точкових ґрат.
1. Пряма, що проходить через два вузли ґрат, містить нескінченно багато вузлів ґрат. При цьому всі відстані між сусідніми вузлами, що лежать на цій прямій, рівні між собою.
2. Перетворення паралельного перенесення площини (простору), що переводить один вузол решітки в інший її вузол, переводить ґрати саму в себе.
3. Ґрати центрально-симетричні щодо середини будь-якого відрізка, який з'єднує два вузли цих ґрат. Більш того, середини всіх відрізків з кінцями у вузлах цієї решітки утворюють нову решітку, що включає стару.
4. (Правило паралелограма.) Якщо три вершини паралелограма є вузлами ґрат, то й четверта його вершина – теж вузол ґрат. У просторі: якщо чотири вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній площині, є вузлами ґрат, то й інші його вершини - також вузли ґрат.
5. Якщо паралелограм з вершинами у вузлах ґрат не містить інших вузлів на сторонах і всередині себе, він цю решітку породжує, тобто. є її фундаментальним паралелограмом. Більше того, ця властивість є критерієм того, що паралелограм є фундаментальним.
На малюнку зображено так звана ортогональна ціла решітка Z 2 , що складається з точок з цілими координатами в системі декартової координат. Те саме сімейство точок можна отримати перетином інших сімейств прямих, які не є ортогональними. Таким чином, грати точок безпосередньо не пов'язані з сімейством прямих на відміну її фундаментального паралелограмма.
Правильні багатокутники на ґратах
Трикутник та квадрат.
Теорема 1:
Правильний трикутник не можна розташувати на цілій решітці Z 2 .
Доказ:
Припустимо, що будь-який правильний трикутник можна розташувати на решітці потрібним чином і що початок координат знаходиться в одній з його вершин, а інші його вершини мають координати (a, b) і (c, d). Можна вважати, що чотири цілі числа a, b, c, d не мають спільних дільників, відмінних від ±1. Останнє випливає з того, що точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) також є вершинами правильного трикутника, якщо k – спільний дільник усіх чотирьох чисел.
Оскільки a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =(a−c) 2 +(b−d) 2 , то звідси укладаємо, що a 2 +b 2 =c 2 +d 2 = 2(ac+bd ). Отже, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 4(ac+bd), тобто. сума квадратів чотирьох чисел ділиться на 4. Але тоді чи всі чотири числа парні, чи всі непарні. Перше неможливо тому, що ці числа, на наш вибір, взаємно прості. Друге ж неможливо тому, що тоді не виконується співвідношення a 2 +b 2 = (a-c) 2 + (b-d) 2 бо його ліва частина не ділиться на 4, а права - ділиться. Отримана суперечність і доводить сформульоване твердження.
Існує ще багато найрізноманітніших доказів для правильного трикутника.
Ясно, що правильний шестикутник також не можна розташувати
на решітці Z 2 , тому що в іншому випадку, з'єднавши його вершини через одну, ми отримали б правильний трикутник, розташований на решітці, що, як ми знаємо, неможливо. Однак у просторі на ґратах Z 3 можна розташувати як правильний трикутник, так і правильний шестикутник. Достатньо пред'явити правильний шестикутник.
Теорема 2:
Немає плоскої решітки, що містить одночасно квадрат і правильний трикутник.
Доказ:
Припустимо неприємне, тобто. що на деяких гратах L можна одночасно розташувати правильний трикутник T=ABC і квадрат K=APQR.
Починаючи з квадрата K, збудуємо решітку L0. Оскільки tg 60 ◦ =√3 ірраціональне число, то один з променів "en":["We3LG8pK-LU"],"es":["SOucI5iDT6A"],"pt":["miKNlJlSW5Y","D5zN1ht6Plg" ])
