Площа правого піку дорівнює де. Знаходження площі фігур за допомогою формули піку
Слайд 2
Георг Пік
Формула Піка була відкрита австрійським математиком Георгом Піком у 1899р.
Слайд 3
Коротка біографія.
Георг Александр Пік (10 серпня 1859 - 13 липня 1942) - австрійський математик, народився в єврейській сім'ї. Мати – Йозефа Шляйзінгер, батько – Адольф Йозеф Пік. Георга, який був обдарованим дитиною, навчав батько, який очолював приватний інститут. У 16 років Георг закінчив школу і вступив до Віденського університету. У 20 років отримав право викладати фізику та математику. Шістнадцятого квітня 1880 року під керівництвом Лео Кенігсбергера Пік захистив докторську дисертацію "Про клас абелевих інтегралів". У Німецькому університеті в Празі в 1888 Пік отримав місце екстраординарного професора математики, потім в 1892 став ординарним професором. У 1900-1901 роках обіймав посаду декана філософського факультету. З його ім'ям пов'язані матриця Піка, інтерполяція Піка – Неванлінни, лема Шварца – Піка. 13 липня 1942 року Пік був депортований у створений нацистами в північній Чехії табір Терезієнштадт, де помер через два тижні у віці 82 років.
Слайд 4
Формула Піка
В-кількість цілих точок усередині багатокутника. Г-кількість цілих точок на межі багатокутника. S=В+Г/2-1 Формула виконується, якщо вершини багатокутника перебувають у точках цілої решітки.
Слайд 5
Доказ Теореми Піка.
Центральне місце у наших міркуваннях займатиме наступний факт. Якщо два даних багатокутника з вершинами в точках цілої решітки становлять один багатокутник, то відповідні їм числа R1 і R2 пов'язані з числом R для багатокутника, складеного з двох даних, рівністю R = R1+R2
Слайд 6
Спочатку зауважимо, що формула Піка правильна для одиничного квадрата. Справді, у разі ми маємо В=0, Г=4, S=В+Г/2-1=1
Слайд 7
Розглянемо прямокутник із сторонами, що лежать на лініях решітки. Нехай довжини його сторін дорівнюють a і b. Маємо в цьому випадку В = (a-1) (b-1), Г = 2a + 2b, за формулою Піка S = (a-1) (b-1) + a + b-1 = ab
Слайд 8
Розглянемо тепер прямокутний трикутник із катетами, що лежать на осях координат. Такий трикутник виходить із прямокутника зі сторонами a та b, розглянутого в попередньому випадку, розрізанням його по діагоналі. Нехай на діагоналі лежать цілих точок. Тоді для цього випадку Г=+с-1 та отримуємо, що S=a*b/2
Слайд 9
Тепер розглянемо довільний трикутник. Його можна отримати, відрізавши від прямокутника кілька прямокутних трикутників і, можливо, прямокутник (див. малюнки). Оскільки і для прямокутника, і для прямокутного трикутника формула Піка є вірною, ми отримуємо, що вона буде справедлива і для довільного трикутника.
Слайд 10
Ґрати. Вузли.
Вузли на гранях багатокутника – Зелені. (Б) Внутрішні вузли багатокутника – Помаранчеві (Г)
Слайд 11
приклад.
Для багатокутника малюнку В=23 (жовті точки), Г=7(Сині точки), тому S=В+Г/2-1=23+2,5=25,5 квадратних одиниць.
РЕФЕРАТ
ЗА ТЕМОЮ «Багатокутники на ґратах. ФОРМУЛА ПІКА.»
Підготувала учениця 9 «Б»
Баранова Олександра
Вступ
Клітчастий папір (точніше - його вузли), на якому ми часто вважаємо за краще малювати і креслити, є одним з найважливіших прикладів точкових грат на площині. Вже ця проста грати послужила К. Гауссу відправною точкою для порівняння площі кола з кількістю точок з цілими координатами, що знаходяться всередині нього. Те, що деякі прості геометричні твердження про фігури на площині мають глибокі наслідки в арифметичних дослідженнях, було явно помічено Г. Мінковським у 1896 р., коли він уперше для розгляду теоретико-числових проблем залучив геометричні методи.
Грати на площині є потужним засобом, який дозволяє перекладати аналітичні завдання геометричною мовою і назад. Рух на цьому своєрідному мосту між аналізом та геометрією став досить інтенсивним та двостороннім.
Грати на площині та у просторі
Розглянемо на площині два сімейства паралельних прямих, що розбивають площину на рівні паралелограми; безліч L всіх точок перетину цих прямих (або безліч вершин усіх паралелограмів) називається точковими ґратами або просто ґратами, а самі точки - вузлами ґрат. Будь-який з цих паралелограмів називається фундаментальним паралелограмом або паралелограмом, що породжує решітку.
Задати грати можна ще й так. Припустимо, що на площині
задані дві прямі l0 і m0, що перетинаються, а також два позитивні числа a і b. По обидва боки від прямої l0 проведемо паралельні прямі l±1, l±2, l±3, на відстані a, 2a, 3a, від неї. Аналогічно по обидва боки від прямої m0 на відстані b, 2b, 3b, ... проведемо прямі m±1, m±2, m±3,…
Зазначимо всі точки перетину прямих l i c прямими m j; безліч всіх цих точок перетину і є решіткою L
Важливо мати на увазі, що грати складаються з точок (вузлів), а самі
прямі до неї не належать. Одна і та ж грати може бути отримана
за допомогою різних сімейств паралельних прямих.
Відзначимо ряд найпростіших властивостей довільних точкових ґрат.
1. Пряма, що проходить через два вузли ґрат, містить нескінченно багато вузлів ґрат. При цьому всі відстані між сусідніми вузлами, що лежать на цій прямій, рівні між собою.
2. Перетворення паралельного перенесення площини (простору), що переводить один вузол грати в інший її вузол, переводить решітку саму в себе.
3. Ґрати центрально-симетричні щодо середини будь-якого відрізка, який з'єднує два вузли цих ґрат. Більш того, середини всіх відрізків з кінцями у вузлах цієї решітки утворюють нову решітку, що включає стару.
4. (Правило паралелограма.) Якщо три вершини паралелограма є вузлами ґрат, то й четверта його вершина – теж вузол ґрат. У просторі: якщо чотири вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній площині, є вузлами ґрат, то й інші його вершини - також вузли ґрат.
5. Якщо паралелограм з вершинами у вузлах ґрат не містить інших вузлів на сторонах і всередині себе, він цю решітку породжує, тобто. є її фундаментальним паралелограмом. Більше того, ця властивість є критерієм того, що паралелограм є фундаментальним.
На малюнку зображено так звана ортогональна ціла решітка Z 2 , що складається з точок з цілими координатами в системі декартової координат. Те саме сімейство точок можна отримати перетином інших сімейств прямих, які не є ортогональними. Таким чином, грати точок безпосередньо не пов'язані з сімейством прямих на відміну її фундаментального паралелограмма.
Правильні багатокутники на ґратах
Трикутник та квадрат.
Теорема 1:
Правильний трикутник не можна розташувати на цілій решітці Z 2 .
Доказ:
Припустимо, що будь-який правильний трикутник можна розташувати на решітці потрібним чином і що початок координат знаходиться в одній з його вершин, а інші інші його вершини мають координати (a, b) і (c, d). Можна вважати, що чотири цілі числа a, b, c, d не мають спільних дільників, відмінних від ±1. Останнє випливає з того, що точки (0, 0), (a/k, b/k), (c/k, d/k) також є вершинами правильного трикутника, якщо k – спільний дільник усіх чотирьох чисел.
Оскільки a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =(a−c) 2 +(b−d) 2 , то звідси укладаємо, що a 2 +b 2 =c 2 +d 2 = 2(ac+bd ). Отже, a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 4(ac+bd), тобто. сума квадратів чотирьох чисел ділиться на 4. Але тоді чи всі чотири числа парні, чи всі непарні. Перше неможливо тому, що ці числа, на наш вибір, взаємно прості. Друге ж неможливо тому, що тоді не виконується співвідношення a 2 + b 2 = (a-c) 2 + (b-d) 2 бо його ліва частина не ділиться на 4, а права - ділиться. Отримана суперечність і доводить сформульоване твердження.
Існує ще багато найрізноманітніших доказів для правильного трикутника.
Ясно, що правильний шестикутник також не можна розташувати
на решітці Z 2 , тому що в іншому випадку, з'єднавши його вершини через одну, ми отримали б правильний трикутник, розташований на решітці, що, як ми знаємо, неможливо. Однак у просторі на ґратах Z 3 можна розташувати як правильний трикутник, так і правильний шестикутник. Достатньо пред'явити правильний шестикутник.
Теорема 2:
Немає плоскої решітки, що містить одночасно квадрат і правильний трикутник.
Доказ:
Припустимо неприємне, тобто. що на деякій решітці L можна одночасно розташувати правильний трикутник T=ABC та квадрат K=APQR.
Починаючи з квадрата K, збудуємо решітку L0. Оскільки tg 60 ◦ =√3 ірраціональне число, то один з променів "en":["We3LG8pK-LU"],"es":["SOucI5iDT6A"],"pt":["miKNlJlSW5Y","D5zN1ht6Plg" ])
