Як знайти довжину гіпотенузи. Трикутник. Рішення прямокутного трикутника
На самому початку нагадаємо, що трикутник - це багатогранник, у якого є 3 кути. Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомі інші величини трикутника?
Інструкція
- Відомі довжини катетів. В даному випадку гіпотенузу можна обчислити, застосовуючи теорему Піфагора. Ця теорема звучить так: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього слід, щоб розрахувати довжину гіпотенузи, необхідно звести у квадрат по черзі величину кожного катета. Після чого отримані цифри скласти, а із загального результату витягти квадратний корінь.
- Як знаходити гіпотенузу в трикутнику KFB, якщо відомий катет (ВК) і кут, що прилягає до нього? Відомий кут позначимо. Одне з властивостей прямокутного трикутника свідчить наступне, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи дорівнює косинус кута, розташованого між гіпотенузою і цим катетом. Записати це можна так: FB=BK*cos().
- Відомий інший катет (KF) і цей же кут, Тепер він буде протилежним. Гіпотенуза також можна знайти, якщо застосувати ті самі властивості прямокутного трикутника. Тут ми отримаємо, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини його гіпотенузи дорівнює синусу кута, що протилежить катету. Записуємо: FB = KF * sin ().
- Як знайти гіпотенузу трикутника, якщо біля нього описано коло, в якому відомий його радіус. З властивостей кола, яке описано навколо прямокутного трикутника відомо, що в такому колі центр збігається з точкою гіпотенузи, яка розділяє його навпіл. Іншими словами - радіус дорівнює половині гіпотенузи. А це означає, що два радіуси складають гіпотенузу: FB = 2 * R.
Знаючи властивості прямокутного трикутника та теорему Піфагора, дуже просто обчислити довжину гіпотенузи. Якщо вам все ж таки складно запам'ятати всі властивості, тоді просто вивчіть готові формули, в які дуже просто підставити відомі значення, щоб розрахувати довжину гіпотенузи.
Інструкція
Нехай відомий один із катетів прямокутного трикутника. Припустимо | BC | = b. Тоді ми можемо скористатися теоремою Піфагора, за якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a^2 + b^2 = c^2. З цього рівняння знаходимо невідомий катет | AB | = a = √ (c^2 - b^2).
Нехай відомий один із кутів прямокутного трикутника, припустимо ∟α. Тоді катети AB та BC прямокутного трикутника ABC можна знайти, використовуючи тригонометричні функції. Так отримуємо: синус ∟α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи sin α = b / c, косинус ∟α дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи cos α = a / c. Звідси знаходимо необхідні довжини сторін: |AB| = a = з * cos α, | BC | = b = c * sin α.
Нехай відоме співвідношення катетів k = a/b. Також вирішуємо задачу з використанням тригонометричних функцій. Відношення a/b є ні що інше, як котангенс ∟α: відношення прилеглого катета до протилежного ctg α = a/b. В цьому випадку з цієї рівності виражаємо a = b * ctg α. І підставляємо теорему Піфагора a^2 + b^2 = c^2:
b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Виносимо b^2 за дужки, отримуємо b^2*(ctg^2 α + 1) = c^2. І звідси легко отримуємо довжину катета b = c/√(ctg^2 α + 1) = c/√(k^2 + 1), де k – задане співвідношення катетів.
За аналогією, якщо відоме співвідношення катетів b/a, вирішуємо задачу із застосуванням тригонометричної функції тангенс tg α = b/a. Підставляємо значення b = a * tg в теорему Піфагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Звідси a = c/√(tg^2 α + 1) = c/√(k^2 + 1), де k – задане співвідношення катетів.
Розглянемо окремі випадки.
∟α = 30 °. Тоді | AB | = a = c * cos α = c * √3/2; |BC| = b = c * sin α = c/2.
∟α = 45 °. Тоді | AB | = | BC | = a = b = c * √2/2.
Відео на тему
Зверніть увагу
Квадратне коріння витягується з позитивним знаком, т.к. довжина може бути негативною величиною. Це здається очевидним, але ця помилка дуже поширена, якщо вирішувати завдання на автоматі.
Для знаходження катетів прямокутного трикутника зручно використовувати формули приведення: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90 ° - α) = sin α.
Джерела:
- Таблиці Брадіса для знаходження величин тригонометричних функцій
Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника розглядаються у розділі математики, що називається тригонометрією. Для знаходження сторін прямокутного трикутника достатньо знати теорему Піфагора, визначення тригонометричних функцій і мати будь-який засіб для знаходження значень тригонометричних функцій, наприклад, калькулятор або таблиці Брадіса. Розглянемо нижче основні випадки задач знаходження сторін прямокутного трикутника.
Вам знадобиться
- Калькулятор, таблиці Брадіса.
Інструкція
с – довжина гіпотенузи (сторони, що протилежить прямому куту);
a, b – довжини катетів (сторін, які належать до прямому куту);
A – кут, що протилежить катету a;
В – кут, що протилежить катету b.
Якщо вам заданий один з гострих кутів, наприклад, A і гіпотенуза, то катети можна знайти з визначень основних тригонометричних функцій :
a = c * sin (A), b = c * cos (A).
Якщо заданий один із гострих кутів, наприклад, A, і один з катетів, наприклад, a, то гіпотенуза та інший катет обчислюються із співвідношень: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
Корисна порада
Якщо вам не відомо значення синуса або косинуса якогось з необхідних для розрахунку кутів, ви можете скористатися таблицями Брадіса, в них наводяться значення тригонометричних функцій для великої кількості кутів. Крім того, більшість сучасних калькуляторів здатні розраховувати синуси та косинуси кутів.
Джерела:
- як обчислити сторону прямокутного трикутника у 2017
Порада 3: Як знайти кут, якщо відомі сторони прямокутного трикутника
Тре косинець, Один з кутів якого є прямим (рівний 90 °), називають прямокутним. Його найдовша сторона завжди лежить навпроти прямого кутаі називається гіпотенузою, а дві інші сторониназивають катетами. Якщо довжини цих трьох сторін відомі, то знайти величини всіх кутів косинецьа не складе труднощів, тому що фактично потрібно обчислити лише один з кутів. Зробити це можна кількома способами.
Інструкція
Використовуйте для обчислення величин кутів (α, β, γ) визначення тригонометричних функцій через прямокутний тре косинець. Таке визначення, наприклад, для синуса гострого кута формулюється як відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Значить, якщо відомі довжини катетів (A і B) і гіпотенузи (C), то знайти, наприклад, синус кута α, що лежить навпроти катета A, можна, розділивши довжину сторониА на довжину сторони C (гіпотенузи): sin(?)=A/C. Дізнавшись значення синуса цього кута, можна знайти його величину в градусах, використавши зворотну синусу функцію - арксинус. Тобто α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можна знайти і величину іншого гострого кута в тре косинецье, але в цьому немає потреби. Оскільки сума всіх кутів тре косинецьа завжди становить 180°, а у прямокутному тре косинецье один із кутів дорівнює 90°, то величину третього кута можна порахувати як різницю між 90° і величиною знайденого кута: β=180°-90°-α=90°-α.
Замість визначення синуса можна використовувати визначення косинуса гострого кута, яке формулюється як відношення довжини катета, що прилягає до шуканого кута, до довжини гіпотенузи: cos(α)=B/C. І тут задійте зворотну тригонометричну функцію (арккосинус), щоб знайти величину кута в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Після цього, як і в попередньому кроці, залишиться знайти величину кута, що бракує: β=90°-α.
Можна скористатися аналогічним визначенням тангенса - він виражається співвідношенням довжини катета, що шукається, до довжини катета прилеглого: tg(α)=A/B. Величину кута в градусах знову визначайте через зворотну тригонометричну функцію - арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величини кута, що бракує, залишиться без змін: β=90°-α.
Відео на тему
Порада 4: Як знайти довжину сторони прямокутного трикутника
Прямокутним вважається такий трикутник, у якого один із кутів прямий. Сторона трикутника, розташована навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони- катетами. Щоб знайти довжини сторін прямокутного трикутника, можна скористатися кількома способами
Інструкція
Можна дізнатися розмір третьої сторонизнаючи довжини двох інших сторін трикутника. Це можна зробити за допомогою теореми Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутникадорівнює сумі квадратів його катетів. (a² = b²+ c²). Звідси можна виразити довжини всіх сторін прямокутного трикутника:
b² = a² – c²;
c² = a² - b²
Наприклад, у прямокутного трикутникавідома довжина гіпотенузи a (18 см) та одного з катетів, наприклад c (14 см). Щоб знайти довжинуіншого катета, потрібно зробити 2 алгебраїчні дії:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Відповідь: довжина другого катета становить √128 см або приблизно 11.3 см
Можна вдатися до іншого способу, якщо відомі довжина гіпотенузи та величина одного з гострих кутів даного прямокутного трикутника. Нехай довжина гіпотенузи дорівнює c, один із гострих кутів дорівнює α. У такому разі, знайти 2 інші сторонипрямокутного трикутникаможна буде за допомогою наступних формул:
a = с * sinα;
b = с * cosα.
Можна навести приклад: довжина гіпотенузи дорівнює 15 см, один із гострих кутів дорівнює 30 градусам. Для знаходження довжин двох інших сторін потрібно виконати 2 дії:
a = 15 * sin30 = 15 * 0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизно)
Найнетривіальніший спосіб знайти довжину сторонипрямокутного трикутника- це висловити її з периметра цієї фігури:
P = a + b + c де P - периметр прямокутного трикутника. З цього виразу легко висловити довжинубудь-яка сторона прямокутного трикутника.
Порада 5: Як знайти кут прямокутного трикутника, знаючи всі сторони
Знання всіх трьох сторін прямо вугільномутрикутник більш ніж достатньо для обчислення будь-якого з його кутів. Цієї інформації настільки багато, що у вас навіть з'являється можливість вибрати, які зі сторін задіяти в розрахунках, щоб використовувати найбільш симпатичну тригонометричну функцію.
Інструкція
Якщо ви волієте мати справу з арксинусом, використовуйте для розрахунку довжину гіпотенузи (С) - найдовшої сторони- і того катета (А), що лежить навпроти шуканого кута (α). Розподіл довжини цього катета на довжину гіпотенузи дасть величину синуса шуканого кута, а зворотна синусу функція - арксинус - з отриманого значення відновить величину кута в градусах. Тому використовуйте у обчисленнях таку формулу: α = arcsin(A/C).
Для заміни арксинусу арккосинусом задійте у обчисленнях довжини тих сторін, які утворюють кут (α). Одна з них буде гіпотенузою (С), а інша – катетом (В). За визначенням косинус - це відношення довжини прилеглого до кута катета до довжини гіпотенузи, а відновленням кута значення косинуса займається функція арккосинус. Використовуйте таку формулу розрахунків: α = arccos(B/C).
Можна використовувати в розрахунках використовувати ще екзотичніші тригонометричні функції, зверніть увагу, наприклад, на арксеканс. Вам знадобиться та ж пара сторін, що й у другому кроці – прилеглий до шуканого кута (α) катет (В) та гіпотенуза (С). Але ділене і дільник треба поміняти місцями, тому
Який трикутник називають прямокутним?
Є кілька типів трикутників. В одних усі кути гострі, в інших – один тупий і два гострі, у третіх – два гострі і прямі. За цією ознакою кожен тип цих геометричних фігур і отримав назву: гострокутні, тупокутні та прямокутні. Тобто прямокутним називається такий трикутник, у якого один із кутів становить 90°. Є й інше визначення, подібне до першого. Прямокутним називається трикутник, у якого дві сторони перпендикулярні.Гіпотенуза та катети
У гострокутного та тупокутного трикутників відрізки, що з'єднують вершини кутів, називаються просто сторонами. У трикутника прямокутної сторони мають інші назви. Ті, що прилягають до прямого кута, називаються катетами. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою. У перекладі з грецької слово "гіпотенуза" означає "натягнута", а "катет" - "перпендикуляр".Співвідношення між гіпотенузою та катетами
Сторони прямокутного трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які значно полегшують обчислення. Наприклад, знаючи розміри катетів, можна вирахувати довжину гіпотенузи. Це співвідношення на ім'я математика, що його відкрив, одержало назву теореми Піфагора і виглядає воно так:c2=a2+b2, де з – гіпотенуза, a та b – катети. Тобто, гіпотенуза дорівнюватиме квадратному кореню із суми квадратів катетів. Щоб знайти будь-який з катетів, достатньо з квадрата гіпотенузи відняти квадрат іншого катета і витягти з отриманої різниці квадратний корінь.
Прилеглий та протилежний катет
Накресліть прямокутний трикутник АСВ. Буквою З прийнято позначати вершину прямого кута, А і В – вершини гострих кутів. Сторони, що протилежать кожному куту, зручно назвати а, b і с, за назвами кутів, що лежать навпроти них. Розгляньте кут А. Катет а йому буде протилежним, катет b – прилеглим. Ставлення протилежного катета до гіпотенузи називається синусом. Обчислити цю тригонометричну функцію можна за такою формулою: sinA=a/c. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається косинусом. Обчислюється він за такою формулою: cosA=b/c.Таким чином, знаючи кут і одну зі сторін, можна за цими формулами обчислити іншу сторону. Тригонометричними співвідношеннями пов'язані і обидва катеты. Ставлення протилежного до прилеглого називається тангенсом, а прилеглого до протилежного котангенсом. Виразити ці співвідношення можна формулами tgA=a/b або ctgA=b/a.
Теорема Піфагора є фундаментальною для кожної математики. Вона встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Наразі зафіксовано 367 доказів цієї теореми.
Інструкція
1. Класичне шкільне формулювання теореми Піфагора звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Таким чином, щоб виявити гіпотенузу прямокутного трикутника по двох катетах, необхідно по черзі побудувати в квадрат довжини катетів, скласти їх і витягти квадратний корінь з результату. У початковому своєму формулюванні теорема стверджувала, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ 2-х квадратів, побудованих на катетах. Втім сучасне формулювання алгебри не вимагає вводити уявлення площі.
2. Нехай, скажімо, дано прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 7 см і 8 см. Тоді, згідно з теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює 7?+8?=49+64=113 см?. Сама гіпотенуза дорівнює кореню квадратному з числа 113. Вийшло ірраціональне число, що йде в результат.
3. Якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4, тоді гіпотенуза дорівнює?25=5. При добуванні квадратного кореня вийшло природне число. Числа 3, 4, 5 складають піфагорову трійку, оскільки вони задовольняють співвідношенню x?+y?=z?, будучи все природними. Інші приклади піфагорової трійки: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
4. Якщо катети рівні між собою, тоді теорема Піфагора перетворюється на більш примітивне рівняння. Нехай, наприклад, обидва катета дорівнюють числу A, а гіпотенуза позначена за C. Тоді C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2. В цьому випадку не потрібно зводити в квадрат число A.
5. Теорема Піфагора - окремий випадок більше загальної теореми косінусів, яка встановлює співвідношення між трьома сторонами трикутника для довільного кута між якими-небудь двома з них.
Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпаки кута 90 градусів. Для того, щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.
Інструкція
1. При знаменитому катете і гострому вугіллі прямокутного трикутника, то розмір гіпотенузи може дорівнювати відношенню катета до косінус/синус цього кута, якщо даний кут є йому протилежним/прилеглим: h = C1 (або C2) / sin?; h = С1 (або С2 )/cos?.Приклад: Нехай дано прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB і прямим кутом C. Нехай кут B дорівнює 60 градусам, а кут A 30 градусам Довжина катета BC 8 см. Потрібно виявити довжину гіпотенузи AB. Для цього можна користуватися кожним із запропонованих вище способів: AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.
Гіпотенуза – найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона розташована протилежно до прямого кута. Метод знаходження гіпотенузи прямокутного трикутниказалежить від того, якими вихідними даними ви володієте.
Інструкція
1. Якщо вестими катети прямокутного трикутника, то довжина гіпотенузи прямокутного трикутникаможе бути виявлена за допомогою теореми Піфагора — квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів: с2 = а2 + b2, де а і b – довжини катетів прямокутного трикутника .
2. Якщо відомий один з катетів і гострий кут, то формула для знаходження гіпотенузи залежатиме від того, який даний кут по відношенню до знаменитого катета - прилеглий (розташований поблизу катета) або протилежний (розташований навпаки нього. У разі прилеглого кута, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на косинус цього кута: з = a/cos?; E кут протилежний, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на синус кута: з = a/sin?.
Відео на тему
Корисна порада
Прямокутний трикутник, сторони якого співвідносяться як 3:4:5, названий єгипетським трикутником, оскільки саме такі постаті енергійно застосовувалися архітекторами Стародавнього Єгипту. Він є також найпростішим прикладом Геронових трикутників, у яких сторони та площа представлені цілими числами.
Рішення трикутників- Історичний термін, який означають рішення головного тригонометричного завдання: з відомих даних про трикутник (сторона, кут і так далі) знайти інші характеристики цього трикутника.
Для вирішення завдань визначення сторін і кутів прямокутного трикутника необхідно згадати визначення sin, cosі tg.
У випадку з прямокутними трикутниками: завжди відомий один з кутів — 90 градусів. Ніжно знайти ще 2 елементи, хоча б один із них — сторона. Зазвичай позначають так: вершина прямого кута буквою C, а гіпотенуза - c. Катети позначають буквами aі b, А величини протилежних їм кутів α і β .
Формули до розрахунку дуже спрощуються, т.к. замість теорем sinі cosвикористовують більш просте співвідношення - теорему Піфагора:
c 2 = a 2 + b 2
та визначення sinі cos:
Крім того, відомо, що кути α і β є гострими, т.к. сума всіх кутів трикутника дорівнює 90 °. Отже, кожен із невідомих кутів точно можна визначити за кожною з його тригонометричних функцій ( sin, cos, tgта ін) методом обчислення відповідної зворотної тригонометричної функції.
Оскільки одна з відомих величин є прямим кутом, випадок «3 сторони» виключаємо з розгляду. Інші випадки:
- 2 сторони та кут між ними → 2 катета;
- 2 сторони та кут навпроти однієї з них → катет та гіпотенуза;
- Сторона та 2 прилеглі кути → катет та прилеглий гострий кут;
- Сторона, що протилежить куту і одна з прилеглих:
- → катет та протилежний гострий кут, якщо прямий кут – прилеглий;
- → гіпотенуза та гострий кут, якщо прямий кут – протилежний.
При правильній постановці завдання (коли відома гіпотенуза і катет, значить катет менше гіпотенузи; коли відомий один з кутів крім прямого, значить він гострий) рішення завжди є і воно єдине.
Зверніть увагу:
1. Для визначення невідомого кута найкраще користуватися теоремою косінусів, а не синусів. Тому що значення sinкута у вершини трикутника не визначає однозначно самого кута. Наприклад, якщо sin β = 0,5отже, кут β може дорівнювати 30° і 150°, оскільки sinцих кутів збігаються. Виняток: коли попередньо відомо, що в цьому трикутнику тупих кутів не може бути, наприклад, коли трикутник прямокутний. З cosтаких проблем немає, в інтервалі 0° - 180° значення cosвизначає кут однозначно.
2. Далі скрізь припускають, що взаємне розташування заданих характеристик трикутника відоме; якщо це не так, значить, дзеркальне відображення побудованого трикутника також виявиться розв'язанням задачі. Наприклад, 3 сторони точно визначають трикутник з точністю до відображення.
3. Кожен трикутник мається на увазі невиродженим, тобто. довжина сторони може бути рівної нулю, а величина кута — неотрицательное число, менше 180°.
