Правило векторної праці. Векторний витвір векторів
Векторний витвір- це псевдовектор, перпендикулярний до площини, побудованої по двох співмножниках, що є результатом бінарної операції «векторне множення» над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Векторний твір не має властивостей комутативності та асоціативності (є антикомутативним) і, на відміну від скалярного твору векторів, є вектором. Широко використовується в багатьох технічних та фізичних додатках. Наприклад, момент імпульсу і сила Лоренца математично записуються як векторного произведения. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - модуль векторного твору двох векторів дорівнює добутку їх модулів, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.
Визначити векторний витвірможна по-різному, і теоретично, у просторі будь-якої розмірності n можна обчислити добуток n-1 векторів, отримавши у своїй єдиний вектор, перпендикулярний до них всім. Але якщо твір обмежити нетривіальними бінарними творами з векторними результатами, то традиційний векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.
На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного твору в тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного твору залежить від орієнтації прямокутної системи координат або інакше її «хіральності».
Визначення:
Векторним добутком вектора a на вектор b у просторі R 3 називається вектор c , що відповідає наступним вимогам:
довжина вектора c дорівнює добутку довжин векторів a та b на синус кута φ між ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогональний кожному з векторів a та b;
вектор c спрямований так, що трійка векторів abc є правою;
у разі простору R7 потрібна асоціативність трійки векторів a, b, c.
Позначення:
c===a × b
Рис. 1. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного твору
Геометричні властивості векторного твору:
Необхідною та достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нуля їхнього векторного твору.
Модуль векторного твору дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах aі b(Див. рис.1).
Якщо e- одиничний вектор, ортогональний вектор aі bі вибраний так, що трійка a,b,e- права, а S- площа паралелограма, побудованого на них (наведених до загального початку), то для векторного твору справедлива формула:
=S e
Рис.2. Об'єм паралелепіпеда при використанні векторного та скалярного твору векторів; пунктирні лінії показують проекції вектора c на a × b та вектора a на b × c, першим кроком є знаходження скалярних творів
Якщо c- якийсь вектор, π
- будь-яка площина, що містить цей вектор, e- одиничний вектор, що лежить у площині π
і ортогональний до c,g- одиничний вектор, ортогональний до площини π
і спрямований так, що трійка векторів ecgє правою, то для будь-кого, хто лежить у площині π
вектора aсправедлива формула:
=Pr e a |c|g
де Pr e a проекція вектора e на a
|c|-модуль вектора з
При використанні векторного та скалярного творів можна вирахувати обсяг паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах a, bі c. Таке твір трьох векторів називається змішаним.
V=|a (b×c)|
На малюнку показано, що цей обсяг може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні «скалярного» та «векторного» творів:
V=a×b c=a b×c
Величина векторного твору залежить від синуса кута між первісними векторами, тому векторний твір може сприйматися як ступінь перпендикулярності векторів так само, як і скалярний твір може розглядатися як ступінь паралельності. Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (одиничному вектору), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0 (нульовому вектору), якщо вектори паралельні або антипаралельні.
Вираз для векторного твору в декартових координатах
Якщо два вектори aі bвизначені своїми прямокутними декартовими координатами, а точніше - представлені в ортонормованому базисі
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
а система координат права, то їхній векторний твір має вигляд
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запам'ятовування цієї формули:
i = ∑ε ijk a j b k
де ε ijk- символ Леві-Чівіти.
Властивості скалярного твору
Скалярне твір векторів, визначення, властивості
Лінійні операції над векторами.
Вектори, основні поняття, визначення, лінійні операції над ними
Вектором на площині називається впорядкована пара її точок, при цьому перша точка називається початком, а друга кінцем – вектора.
Два вектори називаються рівними, якщо вони рівні і сонаправлены.
Вектори, що лежать на одній прямій, називаються сонаправленными якщо вони сонаправленны з деяким одним і тим самим вектором, що не лежать на цій прямій.
Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними, а колінеарні але не сонаправлені – протилежно-спрямовані.
Вектори, що лежать на перпендикулярних прямих, називаються ортогональними.
Визначення 5.4. Сумою a + b векторів a і b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b , якщо початок вектора b збігається з кінцем вектора а .
Визначення 5.5. Різниця а - b векторів а і b називається такий вектор з , який у сумі з вектором b дає вектор а .
Визначення 5.6. Творомk a вектора а на число kназивається вектор b , колінеарний вектор а , що має модуль, рівний | k||a |, та напрямок, що збігається з напрямком | а при k>0 і протилежне а при k<0.
Властивості множення вектора на число:
Властивість 1. k(a + b ) = k a+ k b.
Властивість 2. (k + m)a = k a+ m a.
Властивість 3. k(m a) = (km)a .
Наслідок. Якщо ненульові вектори а і b колінеарні, то існує така кількість k, що b = k a.
Скалярним твором двох ненульових векторів aі bназивається число (скаляр), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута φ між ними. Скалярний твір можна позначати різними способами, наприклад, як ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким чином, скалярний твір дорівнює:
a · b = |a| · | b| · cos φ
Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то скалярний добуток дорівнює нулю.
· Властивість перестановки: a · b = b · a(Від перестановки множників скалярне твір не змінюється);
· Властивість розподілу: a · ( b · c) = (a · b) · c(Результат не залежить від порядку множення);
· Властивість поєднання (стосовно скалярного множника): (λ a) · b = λ ( a · b).
· Властивість ортогональності (перпендикулярності): якщо вектор aі bненульові, їх скалярний твір дорівнює нулю, тільки коли ці вектори ортогональні (перпендикулярні один до одного) a ┴ b;
· Властивість квадрата: a · a = a 2 = |a| 2 (скалярний добуток вектора самого з собою дорівнює квадрату його модуля);
· Якщо координати векторів a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), то скалярне твір одно a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.
Векторні векторні проведення. Визначення: Під векторним твором двох векторів і розуміється вектор, для якого:
Модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого даних векторах, тобто. , де кут між векторами та
Цей вектор перпендикулярний векторам, що перемножуються, тобто.
Якщо вектори неколлінеарні, вони утворюють праву трійку векторів.
Властивості векторного твору:
1.При зміні порядку співмножників векторний твір змінює свій знак зворотний, зберігаючи модуль, тобто.
2 .Векторний квадрат дорівнює нуль-вектору, тобто.
3 .Скалярний множник можна виносити за символ векторного твори, тобто.
4 .Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність
5 .Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів і:
Кут між векторами
Щоб ми могли ввести поняття векторного твору двох векторів, потрібно спочатку розібратися з таким поняттям, як кут між цими векторами.
Нехай нам дано два вектори $\overline(α)$ і $\overline(β)$. Візьмемо в просторі якусь точку $O$ і відкладемо від неї вектори $\overline(α)=\overline(OA)$ і $\overline(β)=\overline(OB)$, тоді кут $AOB$ буде називатися кутом між цими векторами (рис. 1).
Позначення: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Поняття векторного твору векторів та формула знаходження
Визначення 1
Векторним твором двох векторів називається вектор, перпендикулярний обом даним векторам, і його довжина дорівнюватиме добутку довжин цих векторів з синусом кута між даними векторами, а також цей вектор з двома початковими мають ту ж орієнтацію, як і декартова система координат.
Позначення: $\overline(α)х\overline(β)$.
Математично це виглядає так:
- $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ і $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ однаково орієнтовані (рис. 2)
Очевидно, що зовнішній твір векторів дорівнюватиме нульовому вектору у двох випадках:
- Якщо довжина одного або обох векторів дорівнює нулю.
- Якщо кут між цими векторами дорівнюватиме $180^\circ$ або $0^\circ$ (оскільки в цьому випадку синус дорівнює нулю).
Щоб наочно побачити, як знаходиться векторне твір векторів, розглянемо наведені нижче приклади рішення.
Приклад 1
Знайти довжину вектора $\overline(δ)$, який буде результатом векторного твору векторів, з координатами $\overline(α)=(0,4,0)$ та $\overline(β)=(3,0,0 ) $.
Рішення.
Зобразимо ці вектори у декартовому координатному просторі (рис. 3):
Рисунок 3. Вектори у декартовому координатному просторі. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт
Бачимо, що ці вектори лежать на осях $Ox$ та $Oy$ відповідно. Отже, кут між ними дорівнюватиме $90^\circ$. Знайдемо довжини цих векторів:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Тоді, за визначенням 1, отримаємо модуль $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Відповідь: $ 12 $.
Обчислення векторного твору за координатами векторів
З визначення 1 відразу ж випливає спосіб знаходження векторного твору для двох векторів. Оскільки вектор, крім значення, має ще й напрямок, знаходити його тільки за допомогою скалярної величини неможливо. Але крім нього існує спосіб знаходження за допомогою координат даних нам векторів.
Нехай нам дані вектори $\overline(α)$ і $\overline(β)$, які матимуть координати $(α_1,α_2,α_3)$ і $(β_1,β_2,β_3)$, відповідно. Тоді вектор векторного твору (а саме його координати) можна знайти за такою формулою:
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
Інакше, розкриваючи визначник, отримаємо такі координати
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Приклад 2
Знайти вектор векторного твору колінеарних векторів $\overline(α)$ і $\overline(β)$ з координатами $(0,3,3)$ та $(-1,2,6)$.
Рішення.
Скористаємося формулою, наведеною вище. Отримаємо
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $
Відповідь: $ (12,-3,3) $.
Властивості векторного твору векторів
Для довільних змішаних трьох векторів $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$, а також $r∈R$ справедливі наступні властивості:
Приклад 3
Знайдіть площу паралелограма, вершини якого мають координати $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ та $(3,8,0)$.
Рішення.
Спочатку зобразимо цей паралелограм у координатному просторі (рис.5):
Рисунок 5. Паралелограм у координатному просторі. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт
Бачимо, що дві сторони цього паралелограма побудовані за допомогою колінеарних векторів з координатами $\overline(α)=(3,0,0)$ та $\overline(β)=(0,8,0)$. Використовуючи четверту властивість, отримаємо:
$S=|\overline(α)х\overline(β)|$
Знайдемо вектор $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Отже
$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
ЗМІШАНИЙ ВИРОБ ТРОХ ВЕКТОРІВ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Змішаним творомтрьох векторів називають число, що дорівнює . позначається 
. Тут перші два вектори множаться векторно і потім отриманий вектор скалярно множиться на третій вектор . Очевидно, такий твір є кілька.
Розглянемо властивості змішаного твору.
- Геометричний сенсзмішаного твору. Змішане твір 3-х векторів з точністю до знака дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого цих векторах, як у ребрах, тобто. .
Таким чином, і
.
Доказ. Відкладемо вектори від загального початку та побудуємо на них паралелепіпед. Позначимо і зауважимо, що . За визначенням скалярного твору
Припускаючи, що і позначивши через hвисоту паралелепіпеда, знаходимо .
Таким чином, при
Якщо ж, то й. Отже, .
Об'єднуючи обидва ці випадки, отримуємо або .
З підтвердження цієї якості зокрема випливає, що й трійка векторів права, то змішане твір , і якщо – ліва, то .
- Для будь-яких векторів , , справедлива рівність
Доказ цієї властивості випливає з властивості 1. Справді, легко показати, що . До того ж знаки "+" і "-" беруться одночасно, т.к. кути між векторами та і одночасно гострі або тупі.
- При перестановці будь-яких двох співмножників змішаний твір змінює знак.
Справді, якщо розглянемо змішаний твір, то, наприклад, або
- Змішаний твір тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю або вектори – компланарні.
Доказ.
Т.ч., необхідною та достатньою умовою компланарності 3-х векторів є рівність нулю їх змішаного твору. Крім того, звідси випливає, що три вектори утворюють базис у просторі, якщо .
Якщо вектори задані в координатній формі , то можна показати, що їхнє змішане твір знаходиться за формулою:
.Т. о., змішане твір дорівнює визначнику третього порядку, у якого у першому рядку стоять координати першого вектора, у другому рядку – координати другого вектора та у третьому рядку – третього вектора.
приклади.
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ
Рівняння F(x, y, z)= 0 визначає у просторі Oxyzдеяку поверхню, тобто. геометричне місце точок, координати яких x, y, zзадовольняють цього рівняння. Це рівняння називається рівнянням поверхні, а x, y, z- поточними координатами.
Однак, часто поверхня задається не рівнянням, а як безліч точок простору, що мають ту чи іншу властивість. І тут потрібно знайти рівняння поверхні, з її геометричних властивостей.
ПЛОЩІСТЬ.
НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР ПЛОЩИНИ.
РІВНЯННЯ ПЛОСКОСТІ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДАНУ ТОЧКУ
Розглянемо у просторі довільну площинуσ. Її положення визначається завданням вектора , перпендикулярного цій площині, та деякої фіксованої точки M 0(x 0, y 0, z 0), що лежить у площині σ.
Вектор перпендикулярний площині σ називається нормальнимвектор цієї площини. Нехай вектор має координати.
Виведемо рівняння площини σ, що проходить через цю точку M 0і має нормальний вектор. Для цього візьмемо на площині σ довільну точку M(x, y, z)і розглянемо вектор.
Для будь-якої точки MÎ σ вектор .Тому їх скалярний твір дорівнює нулю. Ця рівність – умова того, що точка MÎ σ. Воно справедливе для всіх точок цієї площини і порушується, як тільки точка Mопиниться поза площиною σ.
Якщо позначити через радіус-вектор точки M, – радіус-вектор точки M 0, то й рівняння можна записати у вигляді
Це рівняння називається векторнимрівнянням площини. Запишемо його у координатній формі. Оскільки , то
Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить цю точку. Таким чином, для того, щоб скласти рівняння площини, потрібно знати координати нормального вектора та координати деякої точки, що лежить на площині.
Зауважимо, що рівняння площини є рівнянням 1-го ступеня щодо поточних координат x, yі z.
приклади.
ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОСКОСТІ
Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zє рівнянням деякої площини. Це рівняння записується як:
Ax+By+Cz+D=0
і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координати нормального вектора площини.
Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площина щодо системи координат, якщо один або кілька коефіцієнтів рівняння звертаються до нуля.
A – це довжина відрізка, що відсікається площиною на осі Ox. Аналогічно, можна показати, що bі c- Довжини відрізків, що відсікаються площиною на осях, що розглядається. Ойі Oz.
Рівнянням площини у відрізках зручно користуватися для побудови площин.
