Змішане твір векторів. Векторний витвір векторів
Розглянемо твір векторів, 
і 
, складене наступним чином: 
. Тут перші два вектори перемножуються векторно, які результат скалярно на третій вектор. Такий твір називається векторно-скалярним або змішаним твором трьох векторів. Змішаний твірє деяким числом.
З'ясуємо геометричний сенс виразу 
.
Теорема . Змішаний добуток трьох векторів дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком «плюс», якщо ці вектори утворюють праву трійку, і зі знаком «мінус», якщо вони утворюють ліву трійку.
Доказ..Побудуємо паралелепіпед, ребрами якого є вектори 
,
,
та вектор 
.
Маємо: 
,
, де 
- площа паралелограма, побудованого на векторах 
і 
,
для правої трійки векторів та 
для лівої, де 
- Висота паралелепіпеда. Отримуємо: 
, тобто. 
, де 
- обсяг паралелепіпеда, утвореного векторами 
,
і 
.
Властивості змішаного твору
1. Змішане твір не змінюється при циклічноюперестановці його співмножників, тобто. .
Справді, у разі не змінюється ні обсяг паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.
2. Змішане твір не змінюється під час зміни місцями знаків векторного та скалярного множення, тобто. 
.
Справді, 
і 
. Знак у правій частині цих рівностей беремо той самий, тому що трійки векторів 
,
,
і 
,
,
– однієї орієнтації.
Отже, 
. Це дозволяє записувати змішане твір векторів 
у вигляді 
без знаків векторного скалярного множення.
3. Змішане твір змінює знак при зміні місць будь-яких двох векторів-співмножників, тобто. 
,
,
.
Справді, така перестановка дорівнює перестановці співмножників у векторному творі, що змінює у твору знак.
4. Змішане твір ненульових векторів 
,
і 
одно нулю і тоді, коли вони компланарны.
2.12. Обчислення змішаного твору в координатній формі в ортонормованому базисі
Нехай задані вектори 
,
,
. Знайдемо їх змішаний твір, використовуючи вирази в координатах для векторного та скалярного творів:
. (10)
Отриману формулу можна записати коротше:
,
оскільки права частина рівності (10) є розкладання визначника третього порядку за елементами третього рядка.
Отже, змішане твір векторів дорівнює визначнику третього порядку, складеному з координат векторів, що перемножуються.
2.13.Деякі додатки змішаного твору
Визначення взаємної орієнтації векторів у просторі
Визначення взаємної орієнтації векторів 
,
і 
ґрунтується на наступних міркуваннях. Якщо 
, то 
,
,
- Права трійка; якщо 
, то 
,
,
- Ліва трійка.
Умова компланарності векторів
Вектори 
,
і 
компланарні тоді і тільки тоді, коли їхнє змішане твір дорівнює нулю ( 
,
,
):
вектори 
,
,
компланарні.
Визначення обсягів паралелепіпеда та трикутної піраміди
Неважко показати, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах 
,
і 
обчислюється як 
а обсяг трикутної піраміди, побудованої на цих же векторах, дорівнює 
.
приклад 1.Довести, що вектори 
,
,
компланарні.
Рішення.Знайдемо змішане твір цих векторів за формулою:
.
Це означає, що вектори 
компланарні.
приклад 2.Дані вершини тетраедра: 
(0, -2, 5),
(6, 6, 0),
(3, -3, 6),
(2, -1, 3). Знайти довжину його висоти, опущеної з вершини 
.
Рішення.Знайдемо спочатку обсяг тетраедра 
. За формулою отримуємо:
Оскільки визначник дорівнює негативному числу, то цьому випадку перед формулою потрібно взяти знак мінус. Отже, 
.
Шукану величину hвизначимо із формули 
, де S
- Площа основи. Визначимо площу S:
де 
Оскільки 
Підставляючи у формулу 
значення 
і 
, отримаємо h=
3.
Приклад 3.Чи утворюють вектори 
базис у просторі? Розкласти вектор 
по базису векторів.
Рішення.Якщо вектори утворюють базис у просторі, всі вони лежать у однієї площині, тобто. є некомпланарними. Знайдемо змішаний твір векторів 
:
,
Отже, вектори не є компланарними і утворюють базис у просторі. Якщо вектори утворюють базис у просторі, то будь-який вектор 
можна у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, саме 
,де 
координати вектора 
у базисі векторів 
. Знайдемо ці координати, склавши та розв'язавши систему рівнянь
.
Вирішуючи її методом Гауса, маємо
Звідси 
. Тоді 
.
Таким чином, 
.
Приклад 4.Вершини піраміди знаходяться в точках: 
,
,
,
. Обчислити:
а) площа грані 
;
б) обсяг піраміди 
;
в) проекцію вектора 
на напрямок вектора 
;
г) кут 
;
д) перевірити, що вектори 
,
,
компланарні.
Рішення
а) З визначення векторного твору відомо, що:
.
Знаходимо вектори 
і 
, використовуючи формулу
,
.
Для векторів, заданих своїми проекціями, векторний твір знаходиться за формулою
, де 
.
Для нашого випадку
.
Довжину отриманого вектора знаходимо, використовуючи формулу
,
.
і тоді 
(кв. од.).
б) Змішаний добуток трьох векторів за абсолютною величиною дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах 
,
,
як на ребрах.
Змішане твір обчислюється за такою формулою:
.
Знайдемо вектори 
,
,
, що збігаються з ребрами піраміди, що сходяться до вершини 
:
,
,
.
Змішаний твір цих векторів
.
Оскільки обсяг піраміди дорівнює частині обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах 
,
,
, то 
(Куб. од.).
в) Використовуючи формулу 
, що визначає скалярний добуток векторів 
,
, Можна записати так:
,
де 
або 
;
або 
.
Для знаходження проекції вектора 
на напрямок вектора 
знаходимо координати векторів 
,
, а потім, застосовуючи формулу
,
отримуємо
г) Для знаходження кута 
визначаємо вектори 
,
, що мають загальний початок у точці 
:
,
.
Потім за формулою скалярного твору
,
д) Для того, щоб три вектори
,
,
були компланарні, необхідно і достатньо, щоб їхнє змішане твір дорівнювало нулю.
У нашому випадку маємо 
.
Отже, вектори є компланарними.
На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У цьому розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий – навряд чи складніше, ніж те саме скалярний добуток, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛИТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя.
Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах
Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторне та змішане твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!
У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні літери.
Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках із хрестиком.
І відразу питання: якщо в скалярному творі векторівберуть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді у чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:
Результатом скалярного твору векторів є:
Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .
Визначення векторного твору
Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.
Визначення: Векторним твором неколлінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторам, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію: 
Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!
Отже, можна назвати такі істотні моменти:
1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів доречно буде розглянути трохи пізніше.
2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє Вектор, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, то отримаємо рівний за довжиною та протилежний у напрямку вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність 
.
3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це надзвичайно важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.
Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твору не дорівнює площі паралелограма.
Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ Векторного твору:
Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що у завданнях аналітичної геометрії площу паралелограма часто знаходять через поняття векторного твору:
Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:
4) Не менше важливий фактполягає в тому, що вектор ортогональний векторам , тобто 
. Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.
5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)
…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)
Векторний твір колінеарних векторів
Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж складається в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова
Таким чином, якщо , то 
і 
. Зверніть увагу, що саме векторний добуток дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він також дорівнює нулю.
Окремий випадок – векторний твір вектора на самого себе:
За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.
Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця, щоб шукати значення синусів.
Ну що ж, розпалюємо вогонь:
Приклад 1
а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо 
б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо 
Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!
а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторного твору). За відповідною формулою:
Відповідь:
Якщо питалося про довжину, то відповіді показуємо розмірність – одиниці.
б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твору:
Відповідь:
Зверніть увагу, що у відповіді про векторний витвір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність - квадратні одиниці.
Завжди дивимося, що потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але літероїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.
Куди поділася велика літера «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.
Популярний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 2
Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо 
Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Насправді завдання справді дуже поширена, трикутниками взагалі можуть закатувати.
Для вирішення інших завдань нам знадобляться:
Властивості векторного твору векторів
Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.
Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:
1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.
2) 
- Властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.
3) - сполучні або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?
4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.
Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:
Приклад 3
Знайти , якщо 
Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру: 
(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.
(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.
(3) Подальше зрозуміло.
Відповідь: 
Настав час підкинути дров у вогонь:
Приклад 4
Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо 
Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою 
. Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярне твір векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:
1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!
(1) Підставляємо вирази векторів.
(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.
(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.
(4) Перше та останнє доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:
(5) Наводимо подібні доданки.
В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти: 
2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3: 
3) Знайдемо площу шуканого трикутника: 
Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.
Відповідь:
Розглянуте завдання досить поширене в контрольних роботах, Ось приклад для самостійного вирішення:
Приклад 5
Знайти , якщо
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)
Векторний твір векторів у координатах
, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:
Формула і справді простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями: 
Приклад 10
Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б) 
Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, їх векторний твір дорівнює нулю (нульовому вектору): 
.
а) Знайдемо векторний твір: 
Таким чином, вектори не колінеарні.
б) Знайдемо векторний твір: 
Відповідь: а) не колінеарні; б)
Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторні твори векторів.
Цей розділ буде невеликим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Практично все буде впиратися у визначення, геометричний зміст і кілька робочих формул.
Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:
Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.
Спочатку знову визначення та картинка:
Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.
Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром: 
Занурюємося у визначення:
2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.
3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний твір векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».
За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.
Примітка : креслення є схематичним.
4) Не заново паритися з поняттям орієнтації базису та простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, Змішане твір може бути негативним: .
Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.
Для векторів , і , заданих своїми координатами , змішане твір обчислюється за такою формулою: .
Змішаний твір застосовують: 1) для обчислення обсягів тетраедра та паралелепіпеда, побудованих на векторах , і , як на ребрах, за формулою: ; 2) як умова компланарності векторів , і : і - компланарні.
Тема 5. Прямі лінії та площини.
Нормальним вектором прямий , називається всякий ненульовий вектор перпендикулярний даній прямій. Напрямний вектор прямий , називається всякий ненульовий вектор паралельний даній прямій.
Пряма на площині
1) - загальне рівняння прямий, де нормальний вектор прямий;
2) - Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору;
3) канонічне рівняння );
4)
5) - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , де - Точка через яку пряма проходить; () - Кут, який пряма складає з віссю ; - Довжина відрізка (зі знаком ), що відсікається прямий на осі (знак "", якщо відрізок відсікається на позитивній частині осі і "", якщо на негативній).
6) - рівняння прямої у відрізках, де і - довжини відрізків (зі знаком ), що відсікаються прямою на координатних осях і (знак «», якщо відрізок відсікається на позитивній частині осі та «», якщо на негативній).
Відстань від точки до прямої , Заданої загальним рівнянням на площині, знаходиться за формулою:
Кут , ( )між прямими і , заданими загальними рівняннями або рівняннями з кутовим коефіцієнтом, знаходиться за однією з наступних формул:
Якщо або .
Якщо або
Координати точки перетину прямих і як рішення системи лінійних рівнянь: або .
Нормальний вектор плоскості , називається всякий ненульовий вектор перпендикулярний даній площині.
Площина у системі координат може бути задана рівнянням одного з наступних видів:
1) - загальне рівняння площині, де нормальний вектор площини;
2) - рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору;
3) - Рівняння площини, що проходить через три точки і ;
4) - рівняння площини у відрізках, де , і - Дини відрізків (зі знаком ), що відсікаються площиною на координатних осях , і (знак "", якщо відрізок відсікається на позитивній частині осі і "", якщо на негативній).
Відстань від точки до площини , Заданої загальним рівнянням , знаходиться за формулою:
Кут ,( )між площинами і , заданими загальними рівняннями, знаходиться за формулою:
Пряма в просторі у системі координат може бути задана рівнянням одного з наступних видів:
1) - загальне рівняння прямий, як лінії перетину двох площин, де - нормальні вектори площин і ;
2) - Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно даному вектору ( канонічне рівняння );
3) - Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки ;
4) - рівняння прямої, що проходить через точку паралельно даному вектору , ( параметричне рівняння );
Кут , ( ) між прямими і в просторі , Заданими канонічними рівняннями знаходиться за формулою:
Координати точки перетину прямої , заданою параметричним рівнянням та площині , заданої загальним рівнянням, перебувають як розв'язання системи лінійних рівнянь: .
Кут , ( ) між прямою , заданою канонічним рівнянням та площиною , Заданою загальним рівнянням знаходиться за формулою: .
Тема 6. Криві другого порядку.
Алгебраїчної кривої другого порядкув системі координат називається крива , загальне рівняння якої має вигляд:
де числа - не дорівнюють нулю одночасно. Існує наступна класифікація кривих другого порядку: 1) якщо , то загальне рівняння визначає криву еліптичного типу (окружність (при ), еліпс (при ), порожня множина, точку); 2) якщо , то - криву гіперболічного типу (гіперболу, пару прямих, що перетинаються); 3) якщо , то - криву параболічного типу(параболу, порожнє безліч, пряму, пару паралельних прямих). Окружність, еліпс, гіпербола та парабола називаються невиродженими кривими другого порядку.
Загальне рівняння , де , Що визначає невироджену криву (коло, еліпс, гіперболу, параболу), завжди (методом виділення повних квадратів) можна привести до рівняння одного з наступних видів:
1а) -рівняння кола з центром у точці та радіусом (рис. 5).
1б)- рівняння еліпса з центром у точці та осями симетрії, паралельними координатним осям. Числа та - називаються півосями еліпса основним прямокутником еліпса; вершинами еліпса .
Для побудови еліпса в системі координат: 1) відзначаємо центр еліпса; 2) проводимо через центр пунктирної лінії осі симетрії еліпса; 3) будуємо пунктиром основний прямокутник еліпса з центром та сторонами, паралельними осям симетрії; 4) зображуємо суцільною лінією еліпс, вписуючи їх у основний прямокутник те щоб еліпс стосувався його сторін лише у вершинах еліпса (рис.6) .
Аналогічно будується і коло, основний прямокутник якого має сторони (рис. 5).
Рис.5 Рис 6
2) - рівняння гіпербол (званих пов'язаними) з центром у точці та осями симетрії, паралельними координатним осям. Числа та - називаються півосями гіпербол ; прямокутник зі сторонами, паралельними осям симетрії та центром у точці - основним прямокутником гіпербол; точки перетину основного прямокутника з осями симетрії - вершинами гіпербол; прямі, що проходять через протилежні вершини основного прямокутника – асимптотами гіпербол .
Для побудови гіперболи в системі координат: 1) відзначаємо центр гіперболи; 2) проводимо через центр пунктирної лінії осі симетрії гіперболи; 3) будуємо пунктиром основний прямокутник гіперболи з центром та сторонами та паралельними осям симетрії; 4) проводимо через протилежні вершини основного прямокутника пунктирною лінією прямі, що є асимптотами гіперболи, яких необмежено близько, при нескінченному віддаленні від початку координат, наближаються гілки гіперболи, не перетинаючи їх; 5) зображуємо суцільною лінією гілки гіпербол (рис. 7) або гіпербол (рис. 8).
мал.7 мал.8
3а)- рівняння параболи з вершиною в точці та віссю симетрії, паралельної координатної осі (рис. 9).
3б)- рівняння параболи з вершиною у точці та віссю симетрії, паралельної координатної осі (рис. 10).
Для побудови параболи в системі координат: 1) відзначаємо вершину параболи; 2) проводимо через вершину пунктирною лінією вісь симетрії параболи; 3) зображуємо суцільною лінією параболу, спрямовуючи її гілка, з урахуванням знака параметра параболи: - у позитивний бік координатної осі, паралельної осі симетрії параболи (рис. 9а і 10а); при - в негативну сторону координатної осі (рис.9б і 10б).
Рис. 9а Мал. 9б
Рис. 10а Мал. 10б
Тема 7. Безліч. Числові множини. функція.
Під безліччю розуміють деяку сукупність об'єктів будь-якої природи, помітних між собою і мислиму як єдине ціле. Об'єкти, що становлять безліч, називають його елементами . Багато може бути нескінченним (складається з нескінченного числа елементів), кінцевим (складається з кінцевого числа елементів), порожнім (не містить жодного елемента). Безліч позначають: , які елементи: . Порожня множина позначають.
Безліч називають підмножиною множини, якщо всі елементи множини належать множині і пишуть. Безліч і називають рівними , якщо вони складаються з тих самих елементів і пишуть . Дві множини і будуть рівні тоді і тільки тоді, коли і .
Безліч називають універсальним (У рамках даної математичної теорії) , якщо його елементами є всі об'єкти, що розглядаються у цій теорії.
Безліч можна задати: 1) перерахуванням всіх його елементів, наприклад: (лише кінцевих множин); 2) завданням правила визначення приналежності елемента універсальної множини, даної множини: .
Об'єднанням
Перетином множин і називається безліч
Різниця множин і називається безліч
Доповненням множини (до універсальної множини) називається безліч.
Дві множини і називаються еквівалентними і пишуть ~ якщо між елементами цих множин може бути встановлено взаємно однозначне відповідність. Безліч називається рахунковим , якщо вона еквівалентна безлічі натуральних чисел : ~ . Порожня множина за визначенням належить до лічильних.
Поняття потужності множини виникає при порівнянні множин за кількістю елементів, що містяться в них. Потужність множини позначають. Потужністю кінцевої множини є кількість його елементів.
Еквівалентні множини мають рівну потужність. Безліч називається незліченним , якщо його потужність більша за потужність множини .
Дійсним (речовим) числом називається нескінченний десятковий дріб, взятий зі знаком «+» або « ». Дійсні числа ототожнюють з точками числової прямої. Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа називається невід'ємне число:
Безліч називається числовим , якщо його елементами є дійсні числа. проміжками називаються множини чисел: , , , , , , , , , .
Безліч всіх точок на числовій прямій, що задовольняють умові , де - скільки завгодно мале число, називається -околицею (або просто околиці) точки і позначається . Безліч всіх точок умовою , де - скільки завгодно велике число, називається - околицею (або просто околицями) нескінченності і позначається .
Величина, що зберігає одне і числове значення, називається постійною. Величина, що приймає різні числові значення, називається змінної. функцією називається правило, яким кожному числу ставиться у відповідність одне цілком певне число , і пишуть . Безліч називається областю визначення функції, - безліччю (або областю ) значень функції, - аргументом , - значенням функції . Найбільш поширеним способом завдання функції є аналітичний спосіб, у якому функція задається формулою. Природною областю визначення Функції називається безліч значень аргументу, для якого дана формула має сенс. Графіком функції , В прямокутній системі координат , називається безліч всіх точок площини з координатами , .
Функція називається парної на множині , симетричному щодо точки , якщо для всіх виконується умова: і непарний якщо виконується умова. В іншому випадку - функція загального виду або ні парна, ні непарна .
Функція називається періодичної на множині, якщо існує число ( період функції ), таке, що всім виконується умова: . Найменша кількість називається основним періодом.
Функція називається монотонно зростаючою (спадаючою ) на множині , якщо більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції .
Функція називається обмеженою на множині , якщо є число , таке, що всім виконується умова: . В іншому випадку функція - необмежена .
Зворотній до функції , називається така функція, яка визначена на безлічі і кожному
Ставить у відповідність таке, що. Для знаходження функції, зворотної до функції , потрібно вирішити рівняння щодо. Якщо функція , є строго монотонною на , вона завжди має зворотну, у своїй, якщо функція зростає (зменшується), то зворотна функція також зростає (убуває).
Функція , що у вигляді , де , - деякі функції такі, що область визначення функції містить усі безліч значень функції , називається складною функцією незалежного аргументу. Змінну називають у своїй проміжним аргументом. Складну функцію називають також композицією функцій та , і пишуть: .
Основними елементарними функціями вважаються: статечна функція , показова функція ( , ), логарифмічна функція ( , ), тригонометричні функції , , , , зворотні тригонометричні функції , , , . Елементарний називається функція, отримана з основних елементарних функцій кінцевим числом їх арифметичних операцій та композицій.
Якщо заданий графік функції , то побудова графіка функції зводиться до ряду перетворень (зсув, стиснення або розтяг, відображення) графіка :
1) 2) перетворення симетрично відображає графік щодо осі; 3) перетворення зрушує графік по осі на одиниць (- вправо, - вліво); 4) перетворення зсуває графік по осі на одиниць (- вгору, - вниз); 5) перетворення графік вздовж осі розтягує в раз, якщо стискає в раз, якщо ; 6) перетворення графік вздовж осі стискає в раз, якщо розтягує в раз, якщо .
Послідовність перетворень при побудові графіка функції можна символічно у вигляді:
Примітка. При виконанні перетворення слід на увазі, що величина зсуву вздовж осі визначається тією константою, яка додається безпосередньо до аргументу, а не до аргументу.
Графіком функції є парабола з вершиною в точці , гілки якої спрямовані вгору, або вниз, якщо . Графіком дробно-лінійної функції є гіпербола з центром у точці, асимптоти якої проходять через центр, паралельно осям координат. , що задовольняють умовам. називається.
Для векторів , і , заданих координатами, , змішане твір обчислюється за такою формулою: .
Змішаний твір застосовують: 1) для обчислення обсягів тетраедра та паралелепіпеда, побудованих на векторах , і , як на ребрах, за формулою: ; 2) як умова компланарності векторів , і : і - компланарні.
Тема 5. Лінії на площині.
Нормальним вектором прямий , називається всякий ненульовий вектор перпендикулярний даній прямій. Напрямний вектор прямий , називається всякий ненульовий вектор паралельний даній прямій.
Пряма на площині у системі координат може бути задана рівнянням одного з наступних видів:
1) - загальне рівняння прямий, де нормальний вектор прямий;
2) - Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору;
3) - Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно даному вектору ( канонічне рівняння );
4) - Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки ;
5) - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , де - Точка через яку пряма проходить; () - Кут, який пряма складає з віссю ; - Довжина відрізка (зі знаком ), що відсікається прямий на осі (знак "", якщо відрізок відсікається на позитивній частині осі і "", якщо на негативній).
6) - рівняння прямої у відрізках, де і - довжини відрізків (зі знаком ), що відсікаються прямою на координатних осях і (знак «», якщо відрізок відсікається на позитивній частині осі та «», якщо на негативній).
Відстань від точки до прямої , Заданої загальним рівнянням на площині, знаходиться за формулою:
Кут , ( )між прямими і , заданими загальними рівняннями або рівняннями з кутовим коефіцієнтом, знаходиться за однією з наступних формул:
Якщо або .
Якщо або
Координати точки перетину прямих і як рішення системи лінійних рівнянь: або .
Тема 10 Безліч. Числові множини. Опції.
Під безліччю розуміють деяку сукупність об'єктів будь-якої природи, помітних між собою і мислиму як єдине ціле. Об'єкти, що становлять безліч, називають його елементами . Багато може бути нескінченним (складається з нескінченного числа елементів), кінцевим (складається з кінцевого числа елементів), порожнім (не містить жодного елемента). Безліч позначають: , які елементи: . Порожня множина позначають.
Безліч називають підмножиною множини, якщо всі елементи множини належать множині і пишуть.
Безліч і називають рівними , якщо вони складаються з тих самих елементів і пишуть . Дві множини і будуть рівні тоді і тільки тоді, коли і .
Безліч називають універсальним (У рамках даної математичної теорії) , якщо його елементами є всі об'єкти, що розглядаються у цій теорії.
Безліч можна задати: 1) перерахуванням всіх його елементів, наприклад: (лише кінцевих множин); 2) завданням правила визначення приналежності елемента універсальної множини, даної множини: .
Об'єднанням
Перетином множин і називається безліч
Різниця множин і називається безліч
Доповненням множини (до універсальної множини) називається безліч.
Дві множини і називаються еквівалентними і пишуть ~ якщо між елементами цих множин може бути встановлено взаємно однозначне відповідність. Безліч називається рахунковим , якщо вона еквівалентна безлічі натуральних чисел : ~ . Порожня множина за визначенням належить до лічильних.
Дійсним (речовим) числом називається нескінченний десятковий дріб, взятий зі знаком «+» або « ». Дійсні числа ототожнюють з точками числової прямої.
Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа називається невід'ємне число:
Безліч називається числовим якщо його елементами є дійсні числа. Числовими проміжками називаються множини
чисел: , , , , , , , , , .
Безліч всіх точок на числовій прямій, що задовольняють умові , де - скільки завгодно мале число, називається -околицею (або просто околиці) точки і позначається . Безліч всіх точок умовою , де - скільки завгодно велике число, називається - околицею (або просто околицями) нескінченності і позначається .
Величина, що зберігає одне і числове значення, називається постійною. Величина, що приймає різні числові значення, називається змінної. функцією називається правило, яким кожному числу ставиться у відповідність одне цілком певне число , і пишуть . Безліч називається областю визначення функції, - безліччю (або областю ) значень функції, - аргументом , - значенням функції . Найбільш поширеним способом завдання функції є аналітичний спосіб, у якому функція задається формулою. Природною областю визначення Функції називається безліч значень аргументу, для якого дана формула має сенс. Графіком функції , В прямокутній системі координат , називається безліч всіх точок площини з координатами , .
Функція називається парної на множині , симетричному щодо точки , якщо для всіх виконується умова: і непарний якщо виконується умова. В іншому випадку - функція загального виду або ні парна, ні непарна .
Функція називається періодичної на множині, якщо існує число ( період функції ), таке, що всім виконується умова: . Найменша кількість називається основним періодом.
Функція називається монотонно зростаючою (спадаючою ) на множині , якщо більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції .
Функція називається обмеженою на множині , якщо є число , таке, що всім виконується умова: . В іншому випадку функція - необмежена .
Зворотній до функції , називається така функція, яка визначена на безлічі і кожному ставить у відповідність таку, що. Для знаходження функції, зворотної до функції , потрібно вирішити рівняння щодо. Якщо функція , є строго монотонною на , вона завжди має зворотну, у своїй, якщо функція зростає (зменшується), то зворотна функція також зростає (убуває).
Функція , що у вигляді , де , - деякі функції такі, що область визначення функції містить усі безліч значень функції , називається складною функцією незалежного аргументу. Змінну називають у своїй проміжним аргументом. Складну функцію називають також композицією функцій та , і пишуть: .
Основними елементарними функціями вважаються: статечна функція , показова функція ( , ), логарифмічна функція ( , ), тригонометричні функції , , , , зворотні тригонометричні функції , , , . Елементарний називається функція, отримана з основних елементарних функцій кінцевим числом їх арифметичних операцій та композицій.
Графіком функції є парабола з вершиною в точці , гілки якої спрямовані вгору, або вниз, якщо .
У деяких випадках при побудові графіка функції доцільно розбити її область визначення на кілька проміжків, що не перетинаються, і послідовно будувати графік на кожному з них.
Кожен упорядкований набір із дійсних чисел називається точкою -мірного арифметичного (координатного) простору і позначається або , у своїй числа називаються її координатами .
Нехай і - деякі множини точок і . Якщо кожній точці ставиться у відповідність за деяким правилом одне цілком певне дійсне число , то кажуть, що на множині задана числова функція від змінних і пишуть або коротко і , при цьому називається областю визначення , - безліччю значень , - аргументами (незалежними змінними) функціями.
Функцію двох змінних часто позначають, функцію трьох змінних -. Область визначення функції є кілька точок площини, функції - кілька точок простору.
Тема 7. Числові послідовності та ряди. Межа послідовності. Межа функції та безперервність.
Якщо кожному натуральному числу за деяким правилом поставлено у відповідність одне цілком певне дійсне число , то кажуть, що задана числова послідовність . Коротко позначають. Число називається спільним членом послідовності . Послідовність називають також функцією натурального аргументу. Послідовність завжди містить безліч елементів, серед яких можуть бути рівні.
Число називається межею послідовності , і пишуть , якщо будь-якого числа знайдеться номер такий, що з усіх виконується нерівність .
Послідовність , що має кінцеву межу, називається схожій , в іншому випадку - розходиться .
: 1) спадаючою , якщо; 2) зростаючою , якщо; 3) невтратною , якщо; 4) незростаючою якщо . Всі перераховані вище послідовності називаються монотонними .
Послідовність називається обмеженою , якщо є число таке, що всім виконується умова: . В іншому випадку послідовність - необмежена .
Будь-яка монотонна обмежена послідовність має межу ( теорема Вейєрштрасса).
Послідовність називається нескінченно малої якщо . Послідовність називається нескінченно великий (що сходить до нескінченності), якщо .
Числом називається межа послідовності , де
Постійну називають неперовим числом. Логарифм числа на основі називається натуральним логарифмом числа і позначається.
Вираз виду , де - послідовність чисел, називається числовим рядом і позначаться. Сума перших членів ряду називається -ой частковою сумою ряду.
Ряд називається схожим якщо існує кінцева межа і розбіжним якщо межа не існує. Число називається сумою ряду, що сходить , при цьому пишуть.
Якщо ряд сходиться, то (необхідна ознака збіжності ряду ) . Зворотне твердження неправильне.
Якщо , то ряд розходиться ( достатня ознака розбіжності ряду ).
Узагальненим гармонійним рядомназивають ряд , який сходиться за і розходиться за .
Геометричним рядом називають ряд , який сходиться при , у своїй його сума дорівнює і розходиться при . знайдеться число чи символ. (лівої півоколиці, правої півоколиці) та
