Правило обчислення площі трикутника. Як обчислюють площу трикутника
Формул для обчислення площі трикутника в інтернеті можна знайти понад 10. Чимало з них застосовується в задачах із відомими сторонами та кутами трикутника. Однак є ряд складних прикладів, де за умовою завдання відомі тільки одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного або вписаного кола і ще одна характеристика. У разі просту формулу застосувати не вдасться.
Наведені нижче формули дозволять вирішити 95 відсотків завдань, у яких потрібно знайти площу трикутника.
Перейдемо до розгляду найпоширеніших формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на малюнку нижче
На малюнку і далі у формулах введено класичні позначення всіх його характеристик
a, b, c – сторони трикутника,
R - радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] – висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta, hamma – кути біля вершин.
Основні формули площі трикутника
1. Площа дорівнює половині добутку сторони трикутника на висоту опущеної до цієї сторони. На мові формул це визначення можна записати так
Таким чином, якщо відома сторона та висота – то площа знайде кожен школяр.
До речі, із цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами
2. Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю
То з першої формули площі слідують однотипні другі
Уважно подивіться на формули – їх легко запам'ятати, оскільки у творі фігурує дві сторони та кут між ними. Якщо правильно позначити сторони та кути трикутника (як на малюнку вище), то отримаємо дві сторони a,b і кут пов'язаний з третьоюЗ (hamma).
3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення
Залежність дозволяє застосовувати у обчисленнях наступні формули площі трикутника
Приклади на цю залежність зустрічаються дуже рідко, але пам'ятати що така формула Ви повинні.
4. Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою
5. Формула площі через бік та котангенс прилеглих кутів наступна
Перестановкою індексів можна отримати залежність інших сторін.
6. Наведена нижче формула площі використовується в задачах, коли вершини трикутника задані на площині координатами. І тут площа дорівнює половині визначника взятого по модулю.
7. Формула Геронузастосовують у прикладах із відомими сторонами трикутника.
Спочатку знаходять півпериметр трикутника
А потім визначають площу за формулою
або
Її часто використовують у коді програм калькуляторів.
8. Якщо відомі всі висоти трикутника, то площа визначають за формулою
Вона складна для обчислення на калькуляторі, однак у пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «разів два».
9. Наступні формули використовують відомі радіуси вписаних та описаних кіл. 
Зокрема, якщо відомо радіус і сторони трикутника, або його периметр, то площа обчислюється згідно з формулою
10. У прикладах де задані сторони та радіус або діаметр описаного кола площа знаходять за формулою
11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону та кути трикутника.
Ну і насамкінець - окремі випадки:
Площа прямокутного трикутника
з катетами a та b дорівнює половині їх твору
Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника=
= однієї четвертої добутку квадрату боку на корінь із трійки.
Розглядається трикутник АВС, в якому кут С- Прямий.
Сторони цього трикутника, що прилягають до прямому куту(Тобто. сторони АС та ПС) називаються катетамиа сторона, що протилежна прямому куту (тобто. сторона АВ) — гіпотенузою.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі катети
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.
приклади.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 5 см, а катет ВС дорівнює 3 см. Площа трикутника АВС дорівнює:
SАВС = 0,5 · 5 · 3 = 7,5 см2.
У трикутнику MNP (кут N = 90º) катет PN дорівнює 102 мм, а катет MN дорівнює 76 мм. Площа трикутника MNP дорівнює:
SАВС = 0,5 · 102 · 76 = 3876 мм2.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі дві сторони
Потрібно розібратися, довжини яких саме сторін прямокутного трикутника відомі: двох катетів або гіпотенузи і одного з катетів, т.к. підхід до рішення буде зовсім різним. Випадок, коли відомі довжини двох катетів, розглянуто вище. Нижче розглянуто випадок, коли відома довжина гіпотенузи та одного з катетів.
Площа прямокутного трикутника по катету та гіпотенузі
Послідовність рішення наступна:
приклад.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 6 см, а гіпотенуза АВ дорівнює 9,22 см. Довжина другого катета дорівнює
НД = КОРІНЬ із (9,222 − 62) = 7 см.
Тепер за двома відомими катетами (АС = 6 см, ВС = 7 см) можна визначити площу трикутника:
SАВС = 0,5 · 6 · 7 = 21 см2.
Площа прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза
Неможливо знайти площу трикутника, знаючи лише одну довжину його гіпотенузи, тому що гіпотенуза не визначає однозначно прямокутний трикутник. Адже кілька трикутників можуть мати однакову довжину гіпотенузи, але різні довжини катетів і, відповідно, різну площу.
Наприклад:
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 6 см, ВС = 8 см, площа S = 0,5 · 6 · 8 = 24 см2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 5 см, ВС = 8,66 см, площа S = 0,5 · 5 · 8,66 = 21,65 см2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 4 см, ВС = 9,165 см, площа S = 0,5 · 4 · 9,165 = 18,33 см2.
Крім довжини гіпотенузи, для однозначного визначення трикутника необхідно знати або довжину одного з катетів, або величину одного з гострих кутів.
Визначення площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та одного з катетів розглянуто вище.
Площа прямокутного трикутника з гіпотенузи та кута
Знаючи довжину гіпотенузи і величину одного з його гострих кутів, можна знайти довжини обох катетів - прилеглого до цього гострого кута і протилежного від цього кута. Далі, знаючи довжини обох катетів, легко можна визначити площу трикутника.
Площа геометричної фігури- Чисельна характеристика фігури, що показує розмір цієї фігури в квадратних одиницях. Стандартне позначення площі – літера S.
Формули площі трикутника
1. Формула площі трикутника по стороні та висоті.
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти.
2. Формула площі трикутника з трьох сторін.Формула Герона.
Площа трикутника дорівнює кореню квадратного із твору, де одним із множників є півпериметр, а трьома іншими — різниця напівпериметра з кожної зі сторін трикутника.
S = √p(p - a) (p - b) (p - c)
3. Формула площі трикутника по дві сторони та кут між ними.
Площа трикутника дорівнює половині твору двох сторін, помноженого на синус кута між ними.
S = 1/2 · a · b · sin γ
4. Формула площі трикутника по трьох сторонах та радіусу описаного кола.
Площа трикутника дорівнює добутку всіх його сторін, поділеному на чотири радіуси описаної навколо нього окуружності.
5. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола.
Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника та радіусу вписаного кола.
Позначення:
S - площа трикутника,
a, b, c - довжини сторін трикутника,
h - висота трикутника,
γ - кут між сторонами a і b,
r - радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
p = (a + b + c) / 2 - Півпериметр трикутника.
Формули площі квадрата
1. Формула площі квадрата за довжиною сторони.
Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його боку.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі.
Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
Позначення:
S - площа квадрата,
a - Довжина сторони квадрата,
d - Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін.
Позначення:
S - площа прямокутника,
a, b - Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті.
Площа паралелограма дорівнює добутку довжини його сторони та довжини, опущеної на цей бік висоти.
S = ah
2. Формула площі паралелограма з обох боків та кутку між ними.
Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
S = a · b · sin α
3. Формула площі паралелограма за двома діагоналями та кутом між ними.
Площа паралелограма дорівнює половині добутку довжин його діагоналей, помноженому на синус кута між ними.
S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin γ
Позначення:
S - площа паралелограма,
a, b - довжини сторін паралелограма,
h - Довжина висоти паралелограма,
d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма,
α - кут між сторонами паралелограма,
γ – кут між діагоналями паралелограма.
Формули площі ромба
1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті.
Площа ромба дорівнює добутку довжини його сторони та довжини, опущеної на цей бік висоти.
S = ah
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту.
Площа ромба дорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
S = a 2 · sin α
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей.
Площа ромба дорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
S = 1/2 · d 1 · d 2
Позначення:
S - площа ромба,
a - довжина сторони ромба,
h - Довжина висоти ромба,
α - кут між сторонами ромба,
d 1 , d 2 - Довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
1. Формула площі трапеції по довжині основ та висоті.
Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.
S = 1/2 · (a + b) · h
2. Формула Герона для трапеції.
S = (a + b) / 4 | a - b | · √ (p - a) (p - b) (p - a - c) (p - a - d)
Позначення:
S - площа трапеції,
a, b - довжини основ трапеції,
c, d - довжини бічних сторін трапеції,
p = a + b + c + d – напівпериметр трапеції.
Формули площі опуклого чотирикутника
1. Формула площі чотирикутника за довжиною діагоналей та кутом між ними.
Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині твору його діагоналей, помноженої на синус кута між ними.
S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin α
Позначення:
S - площа чотирикутника,
d 1 , d 2 - Довжини діагоналей чотирикутника,
α – кут між діагоналями чотирикутника.
2. Формула площі описаного чотирикутника (по довжині периметра та радіусу вписаного кола).
Площа опуклого чотирикутника дорівнює добутку півпериметра та радіусу вписаного кола.
3. Формула площі чотирикутника за довжиною сторін та значенням протилежних кутів.
S = √ (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 θ
4. Формула площі чотирикутника, навколо якого можна описати коло.
S = √ (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)
Позначення:
S - площа чотирикутника,
a, b, c, d — довжини сторін чотирикутника,
p = (a + b + c + d)/2 - напівпериметр чотирикутника,
θ = (α + β)/2 - напівсума двох протилежних кутів чотирикутника.
Формули площі кола
1. Формула площі кола через радіус.
Площа кола дорівнює добутку квадрата радіусу та числа пі.
2. Формула площі кола через діаметр.
Площа кола дорівнює чверті добутку квадрата діаметра та числа пі.
S = 1/4 · π · d 2
Позначення:
S - площа кола,
r - довжина радіуса кола,
d - Довжина діаметра кола;
Формула площі еліпса
Площа еліпса дорівнює добутку довжин великої та малої півосей еліпса та числа пі.
Позначення:
S - площа еліпса,
a - Довжина більшої півосі еліпса,
b - Довжина меншої півосі еліпса;
Джерела:
- ru.onlinemschool.com - формули площі геометричних фігур;
