Площа трикутника – половина твору катетів. Як знаходити площу трикутника (формули)
Інструкція
Завдання 1.
Знайдіть довжини всіх сторін прямокутного трикутника, якщо відомо, що довжина одного катета перевищує довжину іншого на 1 см, а площа трикутника дорівнює 28 см.
Рішення.
Запишіть основну формулу площі S = (a*b)/2 = 28. Відомо, що b = a + 1, підставте це значення у формулу: 28 = (a*(a+1))/2.
Розкрийте дужки, отримайте квадратне рівняння з одним невідомим a^2 + a - 56 = 0.
Знайдіть корені цього рівняння , для чого порахуйте дискримінант D = 1 + 224 = 225. Рівняння має два розв'язки: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 і a_2 = (-1 - √225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Другий корінь немає сенсу, оскільки довжина відрізка може бути негативною величиною, отже a = 7 (см).
Знайдіть довжину другого катета b = a + 1 = 8 (см).
Залишилось знайти довжину третьої сторони. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, звідси c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (см).
Завдання 2.
Знайдіть довжини всіх сторін прямокутного трикутника, якщо відомо, що його площа дорівнює 14 см, а кут ACB дорівнює 30°.
Рішення.
Запишіть основну формулу S = (a * b) / 2 = 14.
Тепер виразіть довжини катетів через добуток гіпотенузи та тригонометричних функцій за якістю прямокутного трикутника:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c.
b = c * sin (ACB) = c * sin (30 °) = c * (1/2) = 0.5 * c.
Підставте отримані значення формулу площі:
14 = (0.87 * 0.5 * c ^ 2) / 2, звідки:
28 ≈ 0.435*c^2 → c = √64.4 ≈ 8 (см).
Ви знайшли довжину гіпотенузи, тепер знайдіть довжини двох інших сторін:
a = 0.87 * c = 0.87 * 8 ≈ 7 (см), b = 0.5 * c = 0.5 * 8 = 4 (см).
Відео на тему
Для початку домовимося про позначення. Катетом називають сторону прямокутного трикутника, що належить до прямому куту(тобто складає з іншого боку кут 90 градусів). Довжини катетів умовимося позначати a та b. Величини гострих кутів прямокутного трикутника, що протилежать катетам, назвемо A та B відповідно. Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, яка протилежить прямому куту (тобто знаходиться навпроти прямого кута, з іншими сторонами трикутника утворює гострі кути). Довжину гіпотенузи позначимо через с. Шукану площу позначимо через S.
Інструкція
с – довжина гіпотенузи (сторони, що протилежить прямому куту);
a, b – довжини катетів (сторін, які належать до прямому куту);
A – кут, що протилежить катету a;
В – кут, що протилежить катету b.
Якщо вам заданий один з гострих кутів, наприклад, A і гіпотенуза, то катети можна знайти з визначень основних тригонометричних функцій :
a = c * sin (A), b = c * cos (A).
Якщо заданий один із гострих кутів, наприклад, A, і один з катетів, наприклад, a, то гіпотенуза та інший катет обчислюються із співвідношень: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
Якщо вам не відомо значення синуса або косинуса якогось з необхідних для розрахунку кутів, ви можете скористатися таблицями Брадіса, в них наводяться значення тригонометричних функцій для великої кількості кутів. Крім того, більшість сучасних калькуляторів здатні розраховувати синуси та косинуси кутів.
Джерела:
- як обчислити сторону прямокутного трикутника у 2017
Порада 4: Як знайти основу прямокутного трикутника
У такій фігурі, як прямокутний трикутник, обов'язково існує чітке співвідношення сторін щодо один одного. Знаючи дві з них, завжди можна знайти третю. Те, як це можна зробити, ви дізнаєтеся з інструкції, запропонованої нижче.
Вам знадобиться
- - Калькулятор.
Інструкція
Зведіть у квадрат обидва катета, а потім складіть їх між собою a2+b2. Отриманий результат є гіпотенузою ( основою) у квадраті c2. Далі потрібно лише витягти корінь з останнього числа і гіпотенузу знайдено. Даний метод є найпростішим і зручнішим у застосуванні на практиці. Головне у процесі знаходження сторін трикутникатаким чином - не забувати витягувати корінь із попереднього результату, щоб уникнути найпоширенішої помилки. Формула виведена завдяки найвідомішій у світі теоремі Піфагора, яка у всіх джерелах має такий вигляд: a2+b2 = c2.
Розділіть один із катетів a на синус протилежного йому кута sin α. У тому випадку, якщо за умови відомі сторони та синуси, цей варіант знаходження гіпотенузи буде найбільш прийнятним. Формула у разі матиме дуже простий вид: c=a/sin α. Будьте уважні за всіх обчислень.
Помножте сторону a на два. Гіпотенуза обчислена. Це, мабуть, найпростіший спосіб знаходження необхідної нам сторони. Але, на жаль, цей метод застосовується лише в одному випадку - якщо існує сторона, яка лежить навпроти кута в градусну міру, що дорівнює числу тридцять. За наявності такої ви можете бути впевнені, що вона завжди буде рівно половиною гіпотенузи. Відповідно, вам залишається лише збільшити її вдвічі і відповідь готова.
Розділіть катет a на косинус кута cos α, що прилягає до нього. Такий метод підійде виключно в тому випадку, якщо вам відомий один з катетів і косинус кута до нього. Цей спосіб нагадує вже представлений вам раніше, в якому використовується також катет, але замість косинуса – синус протилежного кута. Тільки ось формула в цьому випадку матиме дещо інший змінений вигляд: з = a/ cos α. От і все.
Порада 5: Як знайти кут, якщо відомі сторони прямокутного трикутника
Тре косинець, Один з кутів якого є прямим (рівний 90 °), називають прямокутним. Його найдовша сторона завжди лежить навпроти прямого кута і називається гіпотенузою, а дві інші сторониназивають катетами. Якщо довжини цих трьох сторін відомі, то знайти величини всіх кутів косинецьа чи не складе праці, оскільки фактично потрібно обчислити лише одне з кутів. Зробити це можна кількома способами.
Інструкція
Використовуйте для обчислення величин кутів (α, β, γ) визначення тригонометричних функцій через прямокутний тре косинець. Таке визначення, наприклад, для синуса гострого кута формулюється як відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Отже, якщо відомі довжини катетів (A і B) і гіпотенузи (C), то знайти, наприклад, синус кута α, що лежить навпроти катета A, можна, розділивши довжину сторониА на довжину сторони C (гіпотенузи): sin(?)=A/C. Дізнавшись значення синуса цього кута, можна знайти його величину в градусах, використавши зворотну синусу функцію - арксинус. Тобто α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можна знайти і величину іншого гострого кута в тре косинецье, але в цьому немає потреби. Оскільки сума всіх кутів тре косинецьа завжди становить 180°, а у прямокутному тре косинецье один із кутів дорівнює 90°, то величину третього кута можна порахувати як різницю між 90° і величиною знайденого кута: β=180°-90°-α=90°-α.
Замість визначення синуса можна використовувати визначення косинуса гострого кута, яке формулюється як відношення довжини катета, що прилягає до шуканого кута, до довжини гіпотенузи: cos(α)=B/C. І тут задійте зворотну тригонометричну функцію (арккосинус), щоб знайти величину кута в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Після цього, як і в попередньому кроці, залишиться знайти величину кута, що бракує: β=90°-α.
Можна скористатися аналогічним визначенням тангенса - він виражається співвідношенням довжини катета, що шукається, до довжини катета прилеглого: tg(α)=A/B. Величину кута в градусах знову визначайте через зворотну тригонометричну функцію - арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величини кута, що бракує, залишиться без змін: β=90°-α.
Відео на тему
Порада 6: Як знайти довжину сторони прямокутного трикутника
Прямокутним вважається такий трикутник, у якого один із кутів прямий. Сторона трикутника, розташована навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони- катетами. Щоб знайти довжини сторін прямокутного трикутника, можна скористатися кількома способами
Інструкція
1. Відомі значення двох катетів
У такому разі площа прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
S = 0.5ab
2. Відомий один катет та гіпотенуза
За подібних умов найлогічніше скористатися теоремою Піфагора і вищевикладеною формулою:
S = 0.5∙sqrt(c^2-a^2) ∙a,
де sqrt -квадратний корінь, c^2-a^2 - підкорене вираз, що позначає різницю квадрата гіпотенузи та катета.
3. Дано значення всіх сторін трикутника
Для таких завдань можна використати формулу Герона:
S = (p-a)(p-b),
де p – напівпериметр, що знаходиться за таким виразом: p = 0.5∙ (a+b+c)
4. Відомий один катет та кут
Тут варто звернутися до тригонометричних функцій. Наприклад, tg(1) = 1/ctg (1) = b/a. Тобто завдяки цьому співвідношенню можна визначити значення невідомого катета. Далі завдання зводиться до першого пункту.
Який трикутник називають прямокутним?
Є кілька типів трикутників. В одних усі кути гострі, в інших – один тупий і два гострі, у третіх – два гострі і прямі. За цією ознакою кожен тип цих геометричних фігур і отримав назву: гострокутні, тупокутні та прямокутні. Тобто прямокутним називається такий трикутник, у якого один із кутів становить 90°. Є й інше визначення, подібне до першого. Прямокутним називається трикутник, у якого дві сторони перпендикулярні.Гіпотенуза та катети
У гострокутного та тупокутного трикутників відрізки, що з'єднують вершини кутів, називаються просто сторонами. У трикутника прямокутної сторони мають інші назви. Ті, що прилягають до прямого кута, називаються катетами. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою. У перекладі з грецької слово "гіпотенуза" означає "натягнута", а "катет" - "перпендикуляр".Співвідношення між гіпотенузою та катетами
Сторони прямокутного трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які значно полегшують обчислення. Наприклад, знаючи розміри катетів, можна вирахувати довжину гіпотенузи. Це співвідношення на ім'я математика, що його відкрив, одержало назву теореми Піфагора і виглядає воно так:c2=a2+b2, де з – гіпотенуза, a та b – катети. Тобто, гіпотенуза дорівнюватиме квадратному кореню із суми квадратів катетів. Щоб знайти будь-який з катетів, достатньо з квадрата гіпотенузи відняти квадрат іншого катета і витягти з отриманої різниці квадратний корінь.
Прилеглий та протилежний катет
Накресліть прямокутний трикутник АСВ. Буквою З прийнято позначати вершину прямого кута, А і В – вершини гострих кутів. Сторони, що протилежать кожному куту, зручно назвати а, b і с, за назвами кутів, що лежать навпроти них. Розгляньте кут А. Катет а йому буде протилежним, катет b – прилеглим. Ставлення протилежного катета до гіпотенузи називається синусом. Обчислити цю тригонометричну функцію можна за такою формулою: sinA=a/c. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається косинусом. Обчислюється він за такою формулою: cosA=b/c.Таким чином, знаючи кут і одну зі сторін, можна за цими формулами обчислити іншу сторону. Тригонометричними співвідношеннями пов'язані і обидва катеты. Ставлення протилежного до прилеглого називається тангенсом, а прилеглого до протилежного котангенсом. Виразити ці співвідношення можна формулами tgA=a/b або ctgA=b/a.
Розглядається трикутник АВС, в якому кут С- Прямий.
Сторони цього трикутника, прилеглі прямому куту (тобто. сторони АС та ПС) називаються катетамиа сторона, що протилежна прямому куту (тобто. сторона АВ) — гіпотенузою.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі катети
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.
приклади.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 5 см, а катет ВС дорівнює 3 см. Площа трикутника АВС дорівнює:
S АВС = 0,5 · 5 · 3 = 7,5 см 2 .
У трикутнику MNP (кут N = 90º) катет PN дорівнює 102 мм, а катет MN дорівнює 76 мм. Площа трикутника MNP дорівнює:
S АВС = 0,5 · 102 · 76 = 3876 мм2.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі дві сторони
Потрібно розібратися, довжини яких саме сторін прямокутного трикутника відомі: двох катетів або гіпотенузи і одного з катетів, т.к. підхід до рішення буде зовсім різним. Випадок, коли відомі довжини двох катетів, розглянуто вище. Нижче розглянуто випадок, коли відома довжина гіпотенузи та одного з катетів.
Площа прямокутного трикутника по катету та гіпотенузі
Послідовність рішення наступна:
- використовуючи теорему Піфагора, необхідно визначити довжину другого катета;
- Потрібно знайти площу прямокутного трикутника за двома катетами.
приклад.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 6 см, а гіпотенуза АВ дорівнює 9,22 см. Довжина другого катета дорівнює
ВС = КОРІНЬ із (9,22 2 − 6 2) = 7 см.
Тепер за двома відомими катетами (АС = 6 см, ВС = 7 см) можна визначити площу трикутника:
S АВС = 0,5 · 6 · 7 = 21 см 2 .
Площа прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза
Неможливо знайти площу трикутника, знаючи лише одну довжину його гіпотенузи, тому що гіпотенуза не визначає однозначно прямокутний трикутник. Адже кілька трикутників можуть мати однакову довжину гіпотенузи, але різні довжини катетів і, відповідно, різну площу.
Наприклад:
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 6 см, ВС = 8 см, площа S = 0,5 · 6 · 8 = 24 см 2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 5 см, ВС = 8,66 см, площа S = 0,5 · 5 · 8,66 = 21,65 см 2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 4 см, ВС = 9,165 см, площа S = 0,5 · 4 · 9,165 = 18,33 см 2 .
Крім довжини гіпотенузи, для однозначного визначення трикутника необхідно знати або довжину одного з катетів, або величину одного з гострих кутів.
Визначення площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та одного з катетів розглянуто вище.
Площа прямокутного трикутника з гіпотенузи та кута
Знаючи довжину гіпотенузи і величину одного з його гострих кутів, можна знайти довжини обох катетів - прилеглого до цього гострого кута і протилежного від цього кута. Далі, знаючи довжини обох катетів, легко можна визначити площу трикутника.
Джерела:
- П.Ф. Фільчакова. Довідник з елементарної математики. - К.: Наукова думка, 1967. - 442 с.
- М.Я. Вигодський. Довідник з елементарної математики. - М: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури. - 412 с.
- Є. Хлебаліної. Універсальна шкільна енциклопедія. У 2-х томах. Том 2 (М - Я). - М: Аванта +, 2003. - 592 с.
Розглядається трикутник АВС, в якому кут С- Прямий.
Сторони цього трикутника, прилеглі прямому куту (тобто. сторони АС та ПС) називаються катетамиа сторона, що протилежна прямому куту (тобто. сторона АВ) — гіпотенузою.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі катети
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.
приклади.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 5 см, а катет ВС дорівнює 3 см. Площа трикутника АВС дорівнює:
S АВС = 0,5 · 5 · 3 = 7,5 см 2 .
У трикутнику MNP (кут N = 90º) катет PN дорівнює 102 мм, а катет MN дорівнює 76 мм. Площа трикутника MNP дорівнює:
S АВС = 0,5 · 102 · 76 = 3876 мм2.
Площа прямокутного трикутника, якщо відомі дві сторони
Потрібно розібратися, довжини яких саме сторін прямокутного трикутника відомі: двох катетів або гіпотенузи і одного з катетів, т.к. підхід до рішення буде зовсім різним. Випадок, коли відомі довжини двох катетів, розглянуто вище. Нижче розглянуто випадок, коли відома довжина гіпотенузи та одного з катетів.
Площа прямокутного трикутника по катету та гіпотенузі
Послідовність рішення наступна:
- використовуючи теорему Піфагора, необхідно визначити довжину другого катета;
- Потрібно знайти площу прямокутного трикутника за двома катетами.
приклад.
У трикутнику АВС (кут С = 90º) катет АС дорівнює 6 см, а гіпотенуза АВ дорівнює 9,22 см. Довжина другого катета дорівнює
ВС = КОРІНЬ із (9,22 2 − 6 2) = 7 см.
Тепер за двома відомими катетами (АС = 6 см, ВС = 7 см) можна визначити площу трикутника:
S АВС = 0,5 · 6 · 7 = 21 см 2 .
Площа прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза
Неможливо знайти площу трикутника, знаючи лише одну довжину його гіпотенузи, тому що гіпотенуза не визначає однозначно прямокутний трикутник. Адже кілька трикутників можуть мати однакову довжину гіпотенузи, але різні довжини катетів і, відповідно, різну площу.
Наприклад:
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 6 см, ВС = 8 см, площа S = 0,5 · 6 · 8 = 24 см 2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 5 см, ВС = 8,66 см, площа S = 0,5 · 5 · 8,66 = 21,65 см 2;
- гіпотенуза АС = 10 см, катети АС = 4 см, ВС = 9,165 см, площа S = 0,5 · 4 · 9,165 = 18,33 см 2 .
Крім довжини гіпотенузи, для однозначного визначення трикутника необхідно знати або довжину одного з катетів, або величину одного з гострих кутів.
Визначення площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та одного з катетів розглянуто вище.
Площа прямокутного трикутника з гіпотенузи та кута
Знаючи довжину гіпотенузи і величину одного з його гострих кутів, можна знайти довжини обох катетів - прилеглого до цього гострого кута і протилежного від цього кута. Далі, знаючи довжини обох катетів, легко можна визначити площу трикутника.
Джерела:
- П.Ф. Фільчакова. Довідник з елементарної математики. - К.: Наукова думка, 1967. - 442 с.
- М.Я. Вигодський. Довідник з елементарної математики. - М: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури. - 412 с.
- Є. Хлебаліної. Універсальна шкільна енциклопедія У 2-х томах. Том 2 (М - Я). - М: Аванта +, 2003. - 592 с.
Залежно від виду трикутника виділяють кілька варіантів знаходження його площі. Наприклад, для обчислення площі прямокутного трикутника використовується формула S = a * b / 2 де а і b - це його катети. Якщо ж потрібно дізнатися площу рівнобедреного трикутника, то необхідно ділити на два твір його основи та висоти. Тобто S = b * h / 2 де b - це основа трикутника, а h - його висота.
Далі може знадобитися розрахунок площі рівнобедреного прямокутного трикутника. Тут приходить допомогу наступна формула: S= a* а / 2, де катети «а» і «а» – обов'язково мають бути з однаковими значеннями.
Також нам часто доводиться обчислювати площу рівностороннього трикутника. Вона перебуває за формулою: S= a * h/ 2, де a – сторона трикутника, і h – його висота. Або за цією формулою: S = √3/4 *a^2, де a – сторона.
Як знаходити площу прямокутного трикутника
Вам потрібно знайти площу прямокутного трикутника, але при цьому в задачі не вказані розміри відразу двох його катетів? Тоді цією формулою (S = a * b / 2) ми зможемо скористатися напряму.
Розглянемо кілька можливих варіантів розв'язання:
- Якщо Вам невідома довжина одного катета, але дано розміри гіпотенузи та другого катета, то звертаємось до великого Піфагора і за його теоремою (a^2+b^2=c^2) вираховуємо довжину невідомого катета, потім використовуємо її для розрахунку площі трикутника.
- Якщо дана довжина одного катета і градусний нахил кута протилежного йому: знаходимо довжину другого катета за формулою - a = b * ctg (C).
- Дано: довжина одного катета і градусний нахил кута прилеглого до нього: знаходження довжини другого катета застосовуємо формулу - a=b*tg(C).
- І останнє, дано: кут і довжина гіпотенузи: обчислюємо довжину обох його катетів, за такими формулами - b = c * sin (C) та a = c * cos (C).
Як знаходити площу рівнобедреного трикутника
Площа рівнобедреного трикутника можна дуже легко і швидко знайти за формулою S = b * h / 2, але за відсутності одного з показників, завдання значно ускладнюється. Адже потрібно виконувати додаткові дії.
Можливі варіанти завдань:
- Дано: довжина однієї з бічних сторін та довжина основи. Знаходимо через теорему Піфагора висоту, тобто довжину другого катети. За умови, що довжина основи, розділена на два, є катетом, а відомий бічний бік – гіпотенузою.
- Дано: основа та кут між бічною стороною та основою. Обчислюємо за формулою h=c*ctg(B)/2 висоту (не забуваємо бік «c» поділити на два).
- Дано: висота та кут, який був утворений основою та бічною стороною: застосовуємо формулу c=h*tg(B)*2 для знаходження висоти, та отриманий результат множимо на два. Далі обчислюємо площу.
- Відома: довжина бічної сторони та кут, що утворився між ним та висотою. Рішення: використовуємо формули - c=a*sin(C)*2 та h=a*cos(C) для знаходження основи та висоти, після чого вважаємо площу.
Як знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника
Якщо всі дані відомі, то за стандартною формулою S = a * a / 2 обчислюємо площу рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо ж задачі не вказані деякі показники, то виконуються додаткові дії.
Наприклад: нам не відомі довжини обох сторін (ми пам'ятаємо, що у рівнобедреному прямокутному трикутнику вони рівні), але дана довжина гіпотенузи. Застосуємо теорему Піфагора знаходження однакових сторін «a» і «a». Формула Піфагора: a^2+b^2=c^2. У випадку з рівнобедреним прямокутним трикутником вона перетворюється на таку: 2a^2 = c^2. Виходить, щоб знайти катет «а», потрібно довжину гіпотенузи поділити на корінь з 2. Результат розв'язання і буде довгою обох катетів рівнобедреного прямокутного трикутника. Далі знаходимо площу.
Як знайти площу рівностороннього трикутника
З допомогою формули S= √3/ 4*a^2 можна легко розрахувати площу рівностороннього трикутника. Якщо відомий радіус описаного кола трикутника, то площу можна знайти за формулою: S = 3√3/ 4*R^2, де R - радіус кола.
Якщо ж, за умовою завдання, дано радіус вписаного кола, площа розраховується за такою формулою: S= 3√3*r^2, де r – радіус кола.
Також, якщо відштовхуватися від цієї формули - S = a * h / 2, то невідомим показником у задачі може бути висота h, для її знаходження використовуйте теорему Піфагора. Тоді висота трикутника буде катетом, бічна її сторона – гіпотенузою, а половина сторони, на яку відпускається висота – другим катетом. Якщо у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, знайти висоту буде не складно. Після цього знаходимо площу за формулою S = a * h/2.
Відео як знайти площу трикутника:
