Яку координату має початок координат
початок системи координат
Альтернативні описиЧисло, розподіл на яке неможливе
Сума, яка на папері виглядає набагато об'ємнішою та симпатичнішою, ніж у кишені
Дійсно в математиці, відсутність величини
Щось нескінченно мале, нікчемне
. "... без палички" (про порожню людину)
. "Бублик" у десятці
Нову систему відліку буде запроваджено у всіх кантонах до кінця. Для більшості з нас координати нагадують шкільні спогади: саме з їхньою допомогою ми можемо описати положення точок та об'єктів у полі, на картах чи планах. Недвозначні координати дозволяють нам розповісти іншим людям, де ми знаходимося, або визначити місцезнаходження конкретної мети – наприклад, за походами чи геокешінгом – частини електронної версії полювання за скарбами.
Нові позначення координат
Координати Швейцарії - більш як сторіччя. На той час точність вимірювань відстані була набагато нижчою, ніж сьогодні. Ось чому координати, засновані на цих вимірах, показують різницю між 2 і 3 метрами між Женевою і Енгадіном. Нові координати особливо важливі для фахівців зі зйомки та громадських робіт. Найбільш очевидна відмінність, яке сприймає громадськість, полягає у нових значеннях та у новому позначенні координат. Зберігаючи переваги, пов'язані з системою координат, що діє доти, значення, пов'язані з початком проекції карти, зсуваються відповідно на 2. 1 мільйон метрів у порівнянні з раніше використаними значеннями.
. "Порожня" цифра
. "Екватор" термометра
Без палички
1-1=? (Результат)
. "круглий, але не дурень, з діркою, але не бублик" (загадка)
. "ніяка" температура за вікном
. "табу" при розподілі
Абсолютна цифра
Абсолютний, коли без палички
В математиці: дійсне число – відсутність величини
Все знищуюче при розподілі число
Які зміни для користувачів карток?
Змінено лише значення координат. Цьогорічні шість цифр будуть замінені в майбутньому на сім цифр. Кожна точка Швейцарії може бути розташована за допомогою двох семизначних координат. Перша цифра відповідає позиції у напрямі захід-схід, а друга цифра - у напрямку південь-північ. Для вимірювань до найближчого вимірника або навіть більш точно слід враховувати різницю між старими і новими координатами. Нові позначення запобігають плутанині між старими та новими координатами у вимірі.
Дійсна кількість, яка не змінює суму
Ділити на це число заборонено
Десять без палички
Його немає у цифровій римській системі
Знак двійкового коду
Яка цифра стоїть наприкінці відліку
Яку цифру древні індіанці майя зображували як розкритої долоні
Математичний "бублик"
Математичний знак
Математичний пшик
Нове національне обстеження, крім того, є сумісним з іншими сусідніми державами, які також вносять такі зміни. І оскільки Швейцарія не є островом, наші дані мають бути пов'язані з даними сусідніх держав, наприклад у транскордонних проектах, таких як європейські автомобільні та залізничні мережі. Введення нових координат – кантон кантоном.
Інтерпретувати координати як числа
Вони засновані на сітці, де три лінії або осі перетинаються у точці походження. Таким чином, формуючи праву систему координат, яка дозволяє легко запам'ятати, яка вісь є напрямком. Крім того, умовно блок дорівнює 1 кубічному метру. Координати можуть використовуватись у різний спосіб.
Математичне "ніщо"
Між "+" та "-" на градуснику
Між плюсом та мінусом у математиці
Мінімальна кількість
Множник знищує числа
На яке число не можна множити
На нього ділити не можна
Жодна цифра
Незначність, виражене математично
Нольовий та ін. див.
Відсутність величини
Перше з чисел Фібоначчі
Як тільки гравці створили бази, рекомендується, щоб вони відстежували свої координати, перш ніж почнуть досліджувати. Якщо вони втрачають або респаунано, вони можуть знайти шлях назад до своїх підстав пішки до цих координат. Координати часто використовуються при обміні насінням генерації, щоб давати вказівки про те, де знайти речі.
Розрахунки температури довкіллятакі, що середня температура на даній широті буде схожа на ту ж широту в градусах на північ від екватора, в континентальному місці в Північній Америці, що перетворюється на світове покоління реального світу, пустелі біля екватора та арктичний клімат біля полюсів.
Прикордонник між плюсами та мінусами в математиці
Під цю цифру стригся Котовський
Під цю цифру стрижуться
Цілком безхмарне небо метеорологи позначають цією цифрою
Провід розетки
Порожня, нікчемна людина (перен.)
Найкругліша цифра
Ступінь сп'яніння
Сухе число на табло
Крапка замерзання води
Для успішної геотегування нам потрібні обидві фотографії, як записані місця і час, де ми рухалися під час зйомок, і в кінцевому підсумку підходящу програму, яка збирала фотографії та місця руху. Ну, ось і все, це досить просто, чи не так?
Ми розрізняємо - чи це первинна матерія чи ідея - ми суперечимо. Тоді матерія була першою, і тоді духи почали здійматися з мертвих. Зазвичай ми розуміємо ідею примату матерії як основи матеріалізму, необізнаної духовної, невловимої природи.
Як порівняти спосіб організації Всесвіту? Якщо ми слідуватимемо екранним процедурам на екрані, ми навіть можемо уявити, що все відбувається в лінійній реальності. І поки що ми бачимо, що вкорочуються відстані. Чи можна це зробити тільки з відчуття перегляду зображень, що рухається, що визначає перспективу? Ні, геометрія зображень на поверхні, що проектується - це допомога. Кіностудія була створена у лінійному просторі матерії чи у перспективі?
Крапка початку відліку
Цифра "без палички"
Цифра - "нічого"
Цифра у вигляді бублика
Цифра з перукарні
Цифра, під яку можна постригтися
Цифра, схожа на букву
Цифровий "бублик"
Цифровий знак
Число, на яке не можна ділити
Число, від якого жодне число не змінюється
Числова "бублик"
Продукт – дерев'яний метр – містить половину деревини над двома метрами? Але хіба один із лічильників не може залишитись осторонь, так само, як коли він почав зі мною? Або наш світ створено матерією, організованою в евклідовому просторі. Або лінійний простір просто пекучий, і первісна людська думка стримує наші знання. П'ять почуттів переконали у матерії – але вони створені самим проявом матерії. Отже, досвід не доводить істотну реальність матерії.
Математика є основним науковим засобом. Деякі області знань допомагатимуть лише статистично, а інші поля є основою. Доценту, якщо його результати відсутні? Геометрія включає квадрати діагональної кінцівки. Проте математика не враховується. Постійно обчислюючи квадратний корінь, довжина постійно змінюється, збільшується. Ця невизначеність говорить нам у тому, що прийнята математика не визначає геометрію нашого світу.
. «ніяка» температура за вікном
Яку цифру древні індіанці майя зображували як розкритої долоні?
. «круглий, але не дурень, з діркою, але не бублик» (загадка)
. «екватор» термометра
Математичне «ніщо»
Числова «бублик»
. «... без палички» (про порожню людину)
Цифра "без палички"
. «порожня» цифра
Між «+» та «-» на градуснику
Діагональні розрахунки - в евклідовому та перспективному просторі. Використовуване евклідово лінійне простір містить ірраціональність - величини приблизної величини, які добре застосовують у науці для наближених обчислень. Однак за будь-якого довільного розміру вони не виставляють геометричний простір нашого Всесвіту. Вони ставлять під сумнів обґрунтованість пропозицій Піфагора – наприклад, для квадратних обчислень.
Доступ до евклідового простору можна замінити іншим, де діагональ має фіксовану довжину обчислювальної оцінки. Більшість інформації включає бачення з його перспективним розташуванням геометричного простору. Нелінійні осцилюючі осі змінять теорему Піфагора у лінійному рівнянні. Результат завжди дає; хаос наближених обчислень не дозволить.
На яке число не можна множити?
Яка цифра стоїть наприкінці відліку?
Цифра – «нічого»
Математичний «бублик»
. "табу" при розподілі
Цифровий «бублик»
. «бублик» у десятці
Яка цифра стоїть наприкінці відліку?
Глава I. Вектори на площині та у просторі
Фізика кількісно визначає деякі її величини на кінцевий розмір, але це не виражає. Розмір залишається невідомим – ірраціональне число. Ми виготовимо дерев'яний метр, а потім інший, помістимо їх один за одним, і до цього ми знаємо, що світ організований лінійним простором. Але математична перевірка лінійності відкидає. Це передбачає, що виробництво лічильників вже мало місце в реальності перспективного простору, за яким немає ніякої справи. Світ із сенсорними почуттями, введеними в інформаційну свідомість.
§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої
Цю темуми пропонуємо Вам розглянути у двох варіантах.
1) За підручником І.І.Привалов "Аналітична геометрія" (підручник для вищих технічних навчальних закладів 1966)
І.І.Привалов "Аналітична геометрія"
§ 1. Завдання перетворення координат.
Ще один приклад; виправдовує наші почуття. Ми проходимо через країну із стійкою довжиною. Околиця проходить навколо нас тим самим темпом. Це переконує нас у лінійному просторі із розподіленою масою. Чи є інше виправдання для нашого сприйняття? Один ніколи не бере другий коротший крок перспективного простору. Спостерігач ніколи не залишить своє початкове центральне становище.
Кожен інший крок знову доти, доки перший, і тому ми створюємо враження лінійного світу. Ми все ще описуємо світ лінійним евклідовим простором. Однак обчислення довжини діагоналі не є допустимим. Ірраціональності, які були створені, включають вигнуті простори фізики століття.
Положення точки на площині визначається двома координатами щодо деякої системи координат. Координати точки зміняться, якщо ми виберемо іншу систему координат.
Завдання перетворення координат у тому, щоб, знаючи координати точки в одній системі координат, знайти її координати в іншій системі.
Це завдання буде вирішено, якщо ми встановимо формули, що зв'язують координати довільної точки по двох системах, причому коефіцієнти цих формул увійдуть постійні величини, що визначають взаємне положення систем.
Вже у столітті вчені закінчили протиріччя, визнавши, що навіть розмір не числиться чисельно, з ірраціональним числом. Неточне пояснення світу було виправлено нам. Квадрати у координатних осях. Реальність світу дає нам візуальне значення. Довжина діагоналі недвозначна. Отже, математичне та геометричне вираз довжини узгоджується.
Це приходить до мене: за межами світу, який ми бачимо, немає маси, вміщеної в евклідовому просторі. Величини, що описуються ірраціональними числами, відносяться до неіснуючих світів. Кинувши руку, ви можете скидати комах, а не математику. Однак це неуцтво може іноді викликати неприємні сюрпризи у вигляді поганих чи неналежних результатів.
Нехай дані дві декартові системи координат хОуі XO 1 Y(Рис. 68).
Положення нової системи XO 1 Yщодо старої системи хОубуде визначено, якщо відомі координати а і b нового початку O 1за старою системою та кут α між осями Охі О 1 Х. Позначимо через хі укоординати довільної точки М щодо старої системи, через X та Y-координати тієї ж точки щодо нової системи. Наше завдання полягає в тому, щоб старі координати хі увисловити через нові X та Y. В отримані формули перетворення повинні, очевидно, входити постійні a, b і α .
Важливість та історія ансамблю Гербер
Тому, безумовно, варто познайомитися з базовою структурою цього формату, яка за своєю суттю є досить простою, але незрозумілою для неосвіченого користувача. Існують, однак, деякі різницю між двома варіантами цього формату даних. Він також мав відносно обмежені можливостівикористання, наприклад, кількість різних форм та розмірів плівки на плівці було обмежено 24 в одній каруселі або коли заповнені мідні поверхні були намальовані тонкими лініями близько один до одного і т.д. однак з погляду техніки, тому що фотоплакати були векторними та повільними на сьогоднішній день.
Вирішення цієї спільної задачі ми отримаємо з розгляду двох окремих випадків.
1. Змінюється початок координат, напрями осей залишаються незмінними ( α = 0).
2. Змінюються напрямки осей, початок координат залишається незмінним ( а = b = 0).
§ 2. Перенесення початку координат.
Нехай дані дві системи декартових координат з різними початками Oі O 1та однаковими напрямками осей (рис. 69).
З самого початку вони контролювалися стрічкою для перфорації з обмеженою ємністю для обсягу даних, що передаються. Проте ПХБ були дуже простими порівняно із сьогоднішніми, оскільки вони мали лише кілька форм та розмірів паяних поверхонь та друкованих плат. Тому вихідний формат був змінений, щоб увімкнути всі необхідні дані, але також дозволити використання клонів будь-якої форми, а також заповнювати полігони, а не будувати їх, визначати позитивні та негативні об'єкти.
Як працює оригінальний фотоплоттер
Рис. 1 Принцип векторного фотоплоттера. Завіса мала форму та розмір зображеного об'єкта на плівці, тому вони були круглими, квадратними тощо. карусель, що обертається, з жалюзі з джерелом світла і затвором утворювала один компактний блок, який переміщався по плівці в одному напрямку, в той час як сама плівка переміщалася в іншу перпендикулярне напрям. Оскільки кількість клонів у ротаційній каруселі була обмежена, можна було замінити або використати послідовно кілька каруселів із попередньо підготовленими віконницями.
Позначимо через а і b координати нового початку Про 1у старій системі та через х, уі X, Y-координати довільної точки М відповідно до старої та нової систем. Проектуючи точку М на осі О 1 Хі Ох, а також точку Про 1на вісь Ох, отримаємо на осі Охтри точки О, Аі Р. Величини відрізків ОА, АРі ВРпов'язані наступним співвідношенням:
Прямокутник певної форми та розміру був наступним. Карусель був повернутий таким чином, що під джерелом світла був затвор заданої форми та розміру. Карусель і плівка переміщувалися один до одного, так що обрана апертура була точно вище бажаного місця на плівці. Затвор відкрився на мить і знову закрився, що за короткий час висвітлило плівку. Затвор світла був закритий, і світло не потрапляло у плівку. . Якби на плівку була намальована лінія певної товщини, вся операція була такою.
Карусель та плівка переміщуються відносно один одного, так що обрана апертура знаходиться точно над початковою точкою лінії на плівці. Карусель і фільм почали рухатися один до одного в напрямку кінцевої точки лінії, доки затвор ще було відкрито. Це креслення називається «малювати». Наприкінці лінії затвор закривається, світло зупиняється плівці. Карусель перемістилася до іншого положення, а потім ще один малюнок квартир або ліній.
- Затвор світла був закритий, на плівці не було світла.
- Затвор відкрився, світло почало світити на плівці.
| ОА| + | АР | = | ВР |. (1)
Помітивши, що | ОА| = а , | ВР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х, перепишемо рівність (1) у вигляді:
а + X = x або x = X + а . (2)
Аналогічно, проектуючи М і Про 1на вісь ординат, отримаємо:
y = Y + b (3)
Отже, стара координата дорівнює новій плюс координата нового початку за старою системою.
З формул (2) та (3) нові координати можна виразити через старі:
Х = х - а , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Поворот осей координат.
Нехай дані дві декартові системи координат з однаковим початком Прота різними напрямками осей (рис. 70).
Нехай α є кут між осями Охі ОХ. Позначимо через х, у і X, Yкоординати довільної точки М відповідно в старій та новій системах:
х = | ВР | , у = | РM | ,
X= | ОР 1 |, Y= | Р 1 M |.
Розглянемо ламану лінію ОР 1 MPі візьмемо її проекцію на вісь Ох. Помічаючи, що проекція ламаної лінії дорівнює проекції відрізка, що замикає (гл. I, § 8) маємо:
ОР 1 MP = | ВР |. (4)
З іншого боку, проекція ламаної лінії дорівнює сумі проекцій її ланок (гл. I § 8); отже, рівність (4) запишеться так:
пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= | ВР | (4")
Оскільки проекція спрямованого відрізка дорівнює його величині, помноженій на косинус кута між віссю проекцій та віссю, на якій лежить відрізок (гл. I, § 8), то
пр ОР 1 = X cos α
пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,
пp MP= 0.
Звідси рівність (4") нам дає:
x = X cos α - Y sin α . (5)
Аналогічно, проектуючи ту ж ламану на вісь Оу, отримаємо вираз для у. Насправді, маємо:
пр ОР 1+ ін Р 1 M+ пp MP= пp ВР = 0.
Помітивши, що
пр ОР 1 = X cos ( α - 90 °) = X sin α ,
пр Р 1 M = Y cos α ,
пp MP = - y ,
будемо мати:
X sin α + Y cos α - y = 0,
y = X sin α + Y cos α . (6)
З формул (5) та (6) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо вирішимо рівняння (5) та (6) щодо Xі Y.
Зауваження.Формули (5) та (6) можуть бути отримані інакше.
З рис. 71 маємо:
х = ВР = ОМ cos ( α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,
у = РМ = ОМ sin ( α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .
Оскільки (гл. I, § 11) OM cos φ = X, ОМ sin φ =Y, то
x = X cos α - Y sin α , (5)
y = X sin α + Y cos α . (6)
§ 4. Загальний випадок.
Нехай дано дві декартові системи координат з різними початками та різними напрямками осей (рис. 72).
Позначимо через а і b координати нового початку Про, за старою системою, через α -кут повороту координатних осей і, нарешті, через х, у і X, Y- координати довільної точки М відповідно до старої та нової систем.
Щоб виразити х і у через Xі Y, введемо допоміжну систему координат x 1 O 1 y 1 , початок якої помістимо на новому початку Про 1, а напрямки осей візьмемо збігаються з напрямками старих осей. Нехай x 1 та y 1 позначають координати точки М щодо цієї допоміжної системи. Переходячи від старої системи координат до допоміжної, маємо (§ 2):
х = х 1 + а , у = у 1 + b .
х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .
Замінюючи х 1 та y 1 у попередніх формулах їх виразами з останніх формул, знайдемо остаточно:
x = X cos α - Y sin α + a
y = X sin α + Y cos α + b (I)
Формули (I) містять як окремий випадок формули §§ 2 і 3. Так, при α = 0 формули (I) звертаються до
x = X + а , y = Y + b ,
а при а = b = 0 маємо:
x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .
З формул (I) ми отримаємо нові координати Xі Yвираженими через старі х і у , якщо рівняння (I) дозволимо щодо Xі Y.
Відзначимо дуже важливу властивість формул (I): вони лінійні щодо Xі Y, Т. е. виду:
x = AX+BY+C, y = A 1 X+B 1 Y + C 1 .
Легко перевірити, що нові координати Xі Yвисловляться через старі х і у теж формулами першого ступеня щодо х і у.
Г.Н.Яковлєв "Геометрія"
§ 13. Перехід від однієї прямокутної декартової системи координат до іншої
Вибір прямокутної декартової системи координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини і впорядкованими парами дійсних чисел. Це означає, що кожній точці площині відповідає єдина пара чисел і кожній упорядкованій парі дійсних чисел відповідає єдина точка.
Вибір тієї чи іншої системи координат нічим не обмежений і визначається у кожному конкретному випадку лише міркуваннями зручності. Часто одне й те саме безліч доводиться розглядати у різних координатних системах. Одна й та сама точка у різних системах має, очевидно, різні координати. Безліч точок (зокрема, коло, парабола, пряма) у різних системах координат задається різними рівняннями.
З'ясуємо, як перетворюються координати точок площини під час переходу від однієї координатної системи до іншої.
Нехай на площині задані дві прямокутні системи координат: i, j та О", i", j" (Рис. 41).
Першу систему з початком у точці О та базовими векторами i і j умовимося називати старою, другу - з початком у точці О" та базисними векторами i" і j" - Нової.
Положення нової системи щодо старої вважатимемо відомим: нехай точка О" в старій системі має координати ( a;b ), a вектор i" утворює із вектором i кут α . Кут α відраховуємо у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки.
Розглянемо довільну точку М. Позначимо її координати у старій системі через ( х;у ), у новій - через ( х "; у" ). Наше завдання – встановити залежність між старими та новими координатами точки М.
З'єднаємо попарно точки О і О", О" і М, О і М. За правилом трикутника отримуємо
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Розкладемо вектори OM> і OO"> за базовими векторами i і j , а вектор O"M> за базовими векторами i" і j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+ b j , O"M > = x" i"+ y" j "
Тепер рівність (1) можна записати так:
x i+ y j = (a i+ b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Нові базисні вектори i" і j" розкладаються за старими базисними векторами i і j наступним чином:
i" = cos α i + sin α j ,
j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .
Підставивши знайдені вирази для i" і j" у формулу (2), отримаємо векторну рівність
x i+ y j = a i+ b j + х"(cos α i + sin α j ) + у"(- sin α i + cos α j )
рівносильне двом числовим рівностям:
|
х = а + х" cos α
- у" sin α
, |
Формули (3) дають вирази для старих координат хі уточки через її нові координати х"і у". Для того щоб знайти вирази для нових координат через старі, достатньо вирішити систему рівняння (3) щодо невідомих х"і у".
Отже, координати точок при перенесенні початку координат в точку ( а; b ) та повороті осей на кут α перетворюються за формулами (3).
Якщо змінюється лише початок координат, а напрями осей залишаються колишніми, то, вважаючи у формулах (3) α = 0, отримуємо
Формули (5) називають формулами повороту.
Завдання 1.Нехай координати нового початку у старій системі (2; 3), а координати точки А у старій системі (4; -1). Знайти координати точки А в новій системі, якщо напрями осей залишаються незмінними.
За формулами (4) маємо
Відповідь. A (2; -4)
Завдання 2.Нехай координати точки Р у старій системі (-2; 1), а в новій системі, напрями осей якої ті ж самі, координати цієї точки (5; 3). Знайти координати нового початку у старій системі.
А За формулами (4) отримуємо
|
-
2= а + 5 |
звідки а = - 7, b = - 2.
Відповідь. (-7; -2).
Завдання 3.Координати точки А у новій системі (4; 2). Знайти координати цієї точки в старій системі, якщо початок координат залишився колишнім, а осі координат старої системи повернені на кут α = 45 °.
За формулами (5) знаходимо
Завдання 4.Координати точки A у старій системі (2 √3 ; - √3 ). Знайти координати цієї точки в новій системі, якщо початок координат старої системи перенесено до точки (-1;-2), а осі повернені на кут α = 30 °.
За формулами (3) маємо
Розв'язавши цю систему рівнянь щодо х"і у", знайдемо: х" = 4, у" = -2.
Відповідь. A (4; -2).
Завдання 5.Дано рівняння прямої у = 2х - 6. Знайти рівняння тієї ж прямої у новій системі координат, яка отримана зі старої системи поворотом осей на кут α = 45 °.
Формули повороту в даному випадку мають вигляд
Замінивши в рівнянні прямої у = 2х - 6 старі змінні х і у новими, отримаємо рівняння
√ 2 / 2 (x"+y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
яке після спрощень набуває вигляду y" = x" / 3 - 2√2
