Як зробити нескінченний трикутник із паперу. Трикутник Пенроуза: своїми руками з паперу
керівник
учитель математики
1.Введение ………………………………………………….……3
2. Історична довідка………………………………………..…4
3. Основна частина………………………………………………….7
4. Доказ неможливості трикутника Пенроузов……9
5. Висновки………………………………………………..…………11
6. Літерарура……………………………………………….…… 12
Актуальність:Математика - предмет, що вивчається з першого до випускного класу. Багато учнів вважають його складним, нецікавим та непотрібним. Але якщо заглянути за сторінки підручника, почитати додаткову літературу, математичні софізми та парадокси, то зміниться уявлення про математику, з'явиться бажання вивчати більше, ніж вивчається в шкільному курсіматематики.
Мета роботи:
показати, що існування неможливих постатей розширять кругозір, розвиває просторову уяву, застосовується як математиками, а й художниками.
Завдання :
1. Вивчити літературу на цю тему.
2. Розглянути неможливі фігури, зробити модель неможливого трикутника, довести, що неможливий трикутник не існує на площині.
3. Зробити розгорнення неможливого трикутника.
4. Розглянути приклади використання неможливого трикутника у образотворчому мистецтві.
Вступ
Історично математика відігравала важливу роль в образотворчому мистецтві, зокрема при зображенні перспективи, що передбачає реалістичне зображення тривимірної сцени на плоскому полотні або аркуші паперу. Відповідно до сучасних поглядів, математика та Образотворче мистецтводуже віддалені один від одного дисципліни, перша – аналітична, друга – емоційна. Математика не відіграє очевидної ролі у більшості робіт сучасного мистецтва, і, фактично, багато художників рідко чи взагалі ніколи не використовують навіть використання перспективи. Однак, є багато художників, які математики знаходяться в центрі уваги. Декілька значних постатей в образотворчому мистецтві проклали дорогу цим індивідуумам.
Взагалі-то не існує жодних правил або обмежень на використання різних тем у математичному мистецтві, таких як, неможливі фігури, стрічка Мебіуса, спотворення чи незвичайні системи перспективи, а також фрактали.
Історія неможливих фігур
Неможливі постаті - певний вид математичних парадоксів, що з регулярних деталей, поєднаних у нерегулярному комплексі. Якщо спробувати сформулювати визначення терміна "неможливі об'єкти" він би, напевно, звучав приблизно так - фізично можливі постаті, зібрані у неможливому вигляді. Але дивитися на них набагато приємніше, складання визначень.
Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд, який намалював у 1934р. перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.
Трикутник Рейтерсверда
Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз знову відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958р. В ілюзії використано «хибну перспективу». Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка «двозначна» часто зустрічався в роботах китайських художників.
|
|
Водоспад Ешера
У 1961р. голландець М. Ешер, натхненний неможливим трикутником Пенроуза, створює відому літографію «Водоспад». Вода на картині тече нескінченно, після водяного колеса вона проходить далі і потрапляє у вихідну точку. По суті, це зображення вічного двигуна, але будь-яка спроба насправді побудувати цю конструкцію приречена на невдачу.
Ще один приклад неможливих постатей представлений малюнку «Москва», у якому зображено зовсім звичайна схема московського метрополітену. Спочатку ми сприймаємо зображення цілком, але простежуючи поглядом окремі лінії, переконуємось у неможливості їхнього існування.
«
Москва», графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003р.
Малюнок «Три равлики» продовжує традиції другої знаменитої неможливої фігури – неможливого куба (ящика).
«Три равлики» Неможливий куб
Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.
Дональд Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють найкращі математики, вчені та художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальних математичних ігор». Сучасна наукаговорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті.
Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете по ній безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатись (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера «Вгору та вниз» Неймовірні сходи Пенроуза
Неможливий тризуб
«Чортова вилка»
Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або «чортова вилка». При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу та приходимо до висновку про неможливість об'єкта. Якщо закрити рукою верхню частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину – три круглі зуби. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми також побачимо реальну картину – два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.
Таким чином, можна побачити, що передній та задній плани даного малюнка конфліктують. Тобто, те, що спочатку на передньому плані йде назад, а задній план (середній зуб) вилазить вперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект – плоскі грані верхньої частини тризубця стають круглими в нижній частині.
Основна частина.
Трикутник- фігура, що складається з трьох прилеглих елементів, яка за допомогою неприйнятних з'єднань цих елементів створює ілюзію з математичної точки зору неможливої структури. Інакше ще цей трибалочник називають кутником Пенроузов
Графічний принцип, що ховається за цією ілюзією, зобов'язаний своїм формулюванням психолога та його сина Роджера, фізика. Кутник Пенрузов складається з 3-х брусків квадратного перерізу, розташованих у 3-х взаємно-перпендикулярних напрямках; кожен з'єднується з наступним під прямим кутом, все це міститься в тривимірному просторі. Ось простий рецепт, як намалювати цю ізометричну проекцію косинця Пенрузов:
· Обріжте кути у рівностороннього трикутника по лініях, паралельним сторонам;
· Проведіть усередині обрізаного трикутника паралелі до сторін;
· Ще раз обріжте кути;
· Ще раз проведіть усередині паралелі;
· Уявіть собі в одному з кутів якийсь із двох можливих кубів;
· Продовжіть його L – образною “штукою”;
· Проженіть цю конструкцію по колу.
· Якби ми вибрали інший куб, то косинець був би "закручений" в інший бік .
Розгорнення неможливого трикутника.
Лінія перегину
Лінія розрізу
З яких елементів будується неможливий трикутник? Точніше, з яких елементів він здається нам (саме здається!) збудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином зорово «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.
Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка прилаштуємо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.
А тепер спробуємо мильо подивитися на фігуру з різних точок простору (або зробіть реальний макет із дроту). Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, з третьої ... При зміні точки спостереження (або - що те саме - при повороті конструкції в просторі) буде здаватися, що два «кінцевих» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Неважко підібрати таке положення, при якому вони з'єднаються (звичайно, при цьому ближній куточок здаватиметься нам товстішим, ніж довший).
Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра – насправді продовження один одного.
До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкненого ланцюга не побачимо.
А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія (насправді ілюзія!) не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.
Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, що виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину (тобто при проектуванні) та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.
Як уже говорилося, з дроту можна легко виготовити найпростішу модель, що в принципі пояснює ефект, що спостерігається. Візьміть прямолінійний шматок дроту і розділіть його на три рівні частини. Потім зігніть крайні частини так, щоб вони утворили прямий кут із середньою частиною, і поверніть один щодо одного на 900 . Тепер повертайте цю фігурку та спостерігайте за нею одним оком. При деякому її становищі здаватиметься, що вона утворена із замкнутого шматка дроту. Увімкнувши настільну лампу, можна поспостерігати за тінню, що падає на стіл, яка також при певному розташуванні фігури у просторі перетворюється на трикутник.
Втім, цю особливість проектування можна спостерігати й іншій ситуації. Якщо зробити кільце із дроту, а потім його розвести у різні боки, то вийде один виток циліндричної спіралі. Цей виток, зрозуміло, розімкнуто. Але при проектуванні на площину можна отримати замкнуту лінію.
Ми ще раз переконалися, що за проекцією на площину, на малюнку тривимірна фігура відновлюється неоднозначно. Тобто в проекції міститься деяка двозначність, недомовленість, які породжують «неможливий трикутник».
І можна сказати, що "неможливий трикутник" Пенроузов, як багато інших оптичні ілюзіїстоїть в одному ряду з логічними парадоксами та каламбурами.
Доказ неможливості трикутника Пенроузов
Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника.
Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 2700 замість «положених» 1800.
Більш того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 900, то і в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.
Розглянемо ще один трикутник, який складається із кількох частин. Якщо частини, з якого він складається, розташувати інакше, то вийде такий самий трикутник, але з одним маленьким недоліком. Не вистачатиме одного квадрата. Як таке можливо? Або таки це ілюзія.
https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="(!LANG:Неможливий трикутник" width="298" height="161">!}
Використання феномену сприйняття
Чи можна якось посилити ефект неможливості? "Неможливі" чи одні об'єкти, ніж інші? І тут на допомогу приходять особливості людського сприйняття. Психологами встановлено, що око починає огляд об'єкта (картини) з нижнього лівого кута, потім погляд ковзає направо до центру і опускається в правий нижній кут картини. Така траєкторія, можливо, пов'язана з тим, що наші пращури при зустрічі з противником спочатку дивилися на найнебезпечнішу праву руку, а потім погляд переміщався вліво, на обличчя та фігуру. Таким чином, художнє сприйняття істотно залежатиме від того, як будується композиція картини. Ця особливість у Середньовіччі яскраво виявилася при виготовленні гобеленів: їх малюнок був дзеркальним відображенням оригіналу, і враження, яке виробляють гобелени та оригінали, відрізняється.
Ця властивість можна з успіхом використовувати при створенні творів з неможливими об'єктами, збільшуючи або зменшуючи "ступінь неможливості". Відкривається також перспектива отримувати цікаві композиціїз використанням комп'ютерних технологій або з декількох картин, повернутих (можливо, з використанням різного видусиметрій) одна щодо іншої, що створюють у глядачів різне враження від об'єкта і глибше розуміння сутності задуму, або з однієї, що повертається (постійно або ривками) за допомогою нехитрого механізму на деякі кути.
Такий напрямок можна назвати полігональним (багатокутним). На ілюстраціях представлені зображення, повернуті одне щодо іншого. Композиція створювалася наступним чином: малюнок на папері, виконаний тушшю та олівцем, сканувався, переводився у цифрову форму та оброблявся у графічному редакторі. Можна відзначити закономірність - повернена картинка має більшу "ступінь неможливості", ніж вихідна. Це легко можна пояснити: художник у процесі роботи підсвідомо прагне створити "правильне" зображення.
Висновок
Використання різних математичних постатей і законів не обмежується лише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи всі наведені постаті, можна знайти й інші, не згадані у цій статті, геометричні тіла чи візуальну інтерпретацію математичних законів.
Математичні образотворче мистецтво процвітає сьогодні, і багато художників створюють картини в стилі Ешера та у своєму власному стилі. Ці художники працюють у різних напрямках, включаючи скульптуру, малювання на плоских та тривимірних поверхнях, літографію та комп'ютерну графіку. А найпопулярнішими темами математичного мистецтва залишаються багатогранники, неможливі постаті, стрічки Мебіуса, спотворені системи перспективи та фрактали.
Висновки:
1. Отже, розгляд неможливих фігур розвиває нашу просторову уяву, допомагає «вийти» з площини в тривимірний простір, що допоможе при вивченні стереометрії.
2. Моделі неможливих фігур допомагають розглядати проекції на площині.
3. Розгляд математичних софізмів та парадоксів прищеплюють інтерес до математики.
При виконанні цієї роботи
1. Я дізнався - як, коли, де і ким була вперше розглянута неможлива фігура, що таких фігур багато, ці фігури постійно намагаються зображати художники.
2. Я, разом із татом зробив модель неможливого трикутника, розглянув її проекції на площину, побачив парадокс цієї постаті.
3. Розглянув репродукції художників, на яких зображені дані постаті
4. Мої дослідження зацікавили однокласників.
Надалі отримані знання я використовуватиму на уроках математики і мене зацікавили, а чи існують інші парадокси?
ЛІТЕРАТУРА
1. Кандидат технічних наук Д. РАКОВ Історія неможливих фігур
2. Неможливі постаті.- М.: Будвидав, 1990.
3. Алексєєва Ілюзії · 7 Comments
4. Дж. Тімоті Анрах. - Дивовижні постаті.
(ТОВ "Видавництво АСТ", ТОВ "Видавництво Астрель", 2002, 168 с.)
5. . - Графіка.
(Арт-Родник, 2001)
6. Даглас Хофштадтер. - Гедель, Ешер, Бах: ця нескінченна гірлянда. (Видавничий дім "Бахрах-М", 2001)
7. А. Коненко – Таємниці неможливих фігур
(Омськ:Лівша, 199)
Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження тому – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще у минулому столітті, він досі часто зустрічається у науковій літературі. І хоч би як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.
Значення трикутника Пенроуза
Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші – просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме "трикутник Пенроуза".
Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму трикутника фігура прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І виготовити таку конструкцію легко.
Історія відкриття
Трикутник Пенроуза був відкритий у далекому 1934 художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».
Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більше неможливості. Такий трикутник був опублікований в 1958 в одному з британських журналів про психологію.
В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликане статтею про неможливі постаті.
У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових марках Швеції. Тривало це протягом кількох років.
Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона досягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.
Неможливе насправді
Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.
Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.
Виготовлення фігури своїми руками
Трикутник Пенроуз можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.
Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.
Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі представлена пунктирною лінією. Згинаємо деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.
Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.
Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження тому – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще у минулому столітті, він досі часто зустрічається у науковій літературі. І хоч би як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.
Значення трикутника Пенроуза
Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші – просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме "трикутник Пенроуза".
Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І виготовити таку конструкцію легко.
Історія відкриття
Трикутник Пенроуза був відкритий у далекому 1934 художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».
Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більше неможливості. Такий трикутник був опублікований в 1958 в одному з британських журналів про психологію.
В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликане статтею про неможливі постаті.
У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових марках Швеції. Тривало це протягом кількох років.
Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона досягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.
Неможливе насправді
Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.
Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.
Виготовлення фігури своїми руками
Трикутник Пенроуз можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.
Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.
Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена згинається деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.
Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.
Малюємо неможливу фігуру
Трикутник Пенроуза також можна намалювати. Спочатку на аркуші малюється простий квадрат. Розмір його немає значення. З основою на нижню сторону квадрата малюється трикутник. У його кутах усередині малюються невеликі прямокутники. Їхні сторони потрібно буде стерти, залишивши лише ті, що є спільними з трикутником. В результаті повинен вийти трикутник із усіченими кутами.
З лівої частини нижнього верхнього кута проводиться пряма лінія. Така ж лінія, але трохи коротша, малюється з нижнього лівого кута. Паралельно основи трикутника проводиться лінія, що виходить із правого кута. Виходить другий вимір.
За принципом другого малюється третій вимір. Тільки у разі всі прямі грунтуються на кути фігури першого, а другого виміру.
Відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.
Історія
Широкої популярності ця фігура набула після опублікування статті про неможливих фігурахв Британський журнал психологіїанглійським математиком Роджером Пенроузомв 1958 року. У цій статті неможливий трикутник був зображений у найбільш спільній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті у голландський художник Мауріц Ешерстворив одну зі своїх знаменитих літографій « Водоспад ».
Скульптури
13-метрова скульптура неможливого трикутника з алюмінію була споруджена в 1999 рокув місті Перт (Австралія)
Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG
Та ж скульптура при зміні точки перегляду
Інші фігури
Хоча цілком можливе побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них менш вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.
Див. також
Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"
Уривок, що характеризує трикутник Пенроуза
Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як із тією умовою, щоб… Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав у листі, але які Обов'язково наказав вставити в рескрипт Салтикову і наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки що жоден озброєний ворог не залишиться землі російської», але якесь складне почуття втримало його. Він не міг сказати цих слів, хоч і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: за умови, щоб французькі війська відступили за Ньоман.Наполеон помітив збентеження Балашева під час висловлювання останніх слів; обличчя його здригнулося, ліва ікра ноги почала мірно тремтіти. Не сходячи з місця, він голосом, вищим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час наступної промови Балашев, неодноразово опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, що більше він підносив голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. - Чи я не вісімнадцять місяців роблю все, щоб отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб розпочати переговори, чого ж вимагають від мене? - сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєю маленькою білою і пухкою рукою.
- Відступ військ за Німан, пане, - сказав Балашев.
– За Нєман? – повторив Наполеон. – То тепер ви хочете, щоб відступили за Нєман – тільки за Ньоман? - повторив Наполеон, глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з номера, тепер вимагали відступити тільки за Нєман. Наполеон швидко обернувся і почав ходити по кімнаті.
– Ви кажете, що від мене вимагають відступу за Ньоман для початку переговорів; але від мене вимагали так само два місяці тому відступи за Одер та Віслу, і, незважаючи на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Обличчя його ніби закам'яніло у своєму суворому вираженні, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La тремтіння моєї лівої ікри є великою ознакою, – говорив він згодом.
