Як зробити нескінченний трикутник із паперу. Трикутник Пенроуза: своїми руками з паперу
Неможливий трикутник – один із дивовижних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на секунду не можеш засумніватися у реальному існуванні. Однак це лише ілюзія, обман. А саму можливість такої ілюзії пояснить нам математика!
Відкриття Пенроузів
В 1958 Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза і Р. Пенроуза, в якій вони ввели в розгляд новий тип оптичної ілюзії, названої ними «неможливий трикутник».
Зрительно неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, що складається з прямокутних брусків. Але це лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника не можна.
Стаття Пенроуз містить кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - Його «класичне» уявлення.
З яких елементів будується неможливий трикутник?
Точніше, з яких елементів він здається нам збудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином зорово «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.
Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка прилаштуємо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.
Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, і другого куточка - , і, третього - , і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі закручену конструкцію.
А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точок простору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, третьої. При зміні точки спостереження буде здаватися, що два «кінцеві» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Не важко підібрати таке становище, у якому вони з'єднаються.
Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.
До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкненого ланцюга не побачимо.
А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.
Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.
Доказ неможливості трикутника Пенроузов
Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і суто математичний доказ.
Довести, що неможливий трикутник не існує, дуже легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 270 градусів замість «положених» 180 градусів.
Більш того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.
Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються вздовж прямих. Площини, що містять ці грані, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.
Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.
Але це не так. Отже, представлена конструкція неможлива.
«Неможливе» мистецтво
Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкому загалу. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, чи, навпаки - явище ідеї буде яскравим, яке захоплює нашу увагу навіть усупереч нашій волі.
У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р. голландський художник Моріц Ешер завершив літографію, названу ним «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроузов з'явилася 1958 року.
В основі «Водоспаду» - два неможливі трикутники, показані. Один трикутник – великий, усередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображено три однакові неможливі трикутники. Але не в цьому суть, представлена конструкція є досить складною.
При побіжному погляді її абсурдність не кожному і відразу буде видно, оскільки кожне з'єднання, представлене, - можливо. як то кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна… Але загалом вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються.
А щоб зрозуміти це, ми повинні витратити певні інтелектуальні та зорові зусилля.
Давайте здійснимо подорож по краях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що вздовж нього, як здається, рівень щодо горизонтальної площині залишається незмінним. Рухаючись уздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємось, ні вниз не опускаємося.
І все було б добре, звично, якби наприкінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що щодо вихідної, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!
Щоб дійти цього парадоксального результату, ми маємо обрати саме цей шлях, та ще й стежити за рівнем щодо горизонтальної площини… Непросте завдання. У її рішенні Ешеру на допомогу прийшла вода. Згадаймо пісню про рух із чудового вокального циклу Франца Шуберта «Прекрасна Мельничиха»:
І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі та сухі конструкції перетворюються на акведуки, якими біжать чисті та швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось уже мимо нашої волі ми прямуємо по течії, слідуючи всім поворотам і вигинам шляху, разом з потоком зриваємося вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову прямуємо вниз за течією ...
Обходимо цей шлях раз, другий, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись вниз, ми якимось фантастичним чином піднімаємося вгору! Початкове здивування переростає в інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якогось жарту, якого поки що не зрозуміли.
І знову ми повторюємо цей шлях по дивному водоводу, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, немов побоюючись каверзи з боку парадоксальної картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.
Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону доти, доки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть у безупинний рух.
Художник спеціально підкреслюють, нав'язує сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з найакуратнішим уявленням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються вгору терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача у реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву та чудовій техніці ця мета досягнута.
Коли ж ми вириваємося з полону, в який потрапляє наша свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо, що основа, джерело цієї картини приховані в особливостях проектування.
І ми отримали ще один - "фізичний" доказ неможливості "неможливого трикутника": якби такий трикутник існував, то існував би і "Водоспад" Ешера, який є, по суті, вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, цей «доказ» – найпереконливіший.
Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав у мистецтві явних попередників і якого неможливо наслідувати? Це комбінація площин та обсягів, пильна увага до химерних форм мікросвіту - живого та неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій – ефект появи неможливих відносин між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно поринути у глибини діалектики.
Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати – треба лише подивитись на нього під іншим, новим кутом зору!
Моріц Ешер
Моріцю Ешеру більше пощастило як вченому, ніж художнику. У його гравюрах та літографіях бачили ключі до доказу теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. У найгіршому разі їх сприймали як прекрасні ілюстрації до наукових трактатів з кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерної графіки. Моріц Ешер працював у галузі співвідношень простору, часу та їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера є не світом формул, а красою світу. Їхній інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним витворам сюрреалістів.
Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року у провінції Голландії. У будинку, в якому народився Ешер, зараз знаходиться музей.
З 1907 року Моріц навчається теслярській справі та грі на піаніно, навчається у середній школі. Оцінки з усіх предметів Моріца були поганими за винятком малювання. Вчитель малювання помітив талант у хлопчика та навчив його робити гравюри по дереву.
У 1916 Ешер виконує свою першу графічну роботу, гравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера. Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, який мав друкарський верстат. На цьому верстаті були надруковані перші гравюри Ешера.
У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж у голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом і був відрахований. В результаті він так і не здобув вищої освіти. Він навчається в Школі архітектури та орнаменту в місті Гаарлемі, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесерена де Месквіта, який вплинув на життя і творчість Ешера.
У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю та квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів та оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які згодом лягли в основу його робіт. Пізніше він постійно повертатиметься до Італії, яка буде для нього джерелом натхнення.
Ешер починає експериментувати у новому собі напрямі, вже тоді його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні постаті і сфери.
Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії та Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними та "логічними".
Ешер багато подорожує. Живе в Італії та Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, виготовляє літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливої реальності "Still Life with Street".
Наприкінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками та трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, що лягло в основу картини "День і ніч".
У травні 1940 року нацисти окупують Голландію та Бельгію, а 17 травня до зони окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер із сім'єю. Вони знаходять будинок у Варні та переїжджають туди у лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер житиме у цьому місті.
В 1946 Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складнішою за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії та точна передача тіней. Одна з самих відомий робіту техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена в 1948 році.
У 1950 році Моріц Ешер набуває популярності як лектор. Тоді ж у 1950 році проходить його перша персональна виставка у Сполучених Штатах та починають купуватись його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.
У середині 50-х років Ешер об'єднує мозаїку з фігурами, що йдуть у нескінченність.
На початку 60-х років побачила світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографів, включаючи деяких з Росії та Канади.
Торішнього серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії у Кембриджі. Математичні та кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.
У 1970 році після нової серії операцій Ешер переїхав до нового будинку в Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало змоги багато працювати.
В 1971 Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійська моваі залишився нею дуже задоволений.
Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків та програмістів. Найповнішою версією із переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва
На цьому сайті представлені не лише широко відомі картини, зокрема і М. Ешера, проте, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок тощо. Цей сайт живе, він періодично оновлюється та поповнюється дивовижними малюнками.
Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження тому – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще у минулому столітті, він досі часто зустрічається у науковій літературі. І хоч би як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.
Значення трикутника Пенроуза
Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші – просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме "трикутник Пенроуза".
Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І виготовити таку конструкцію легко.
Історія відкриття
Трикутник Пенроуза був відкритий у далекому 1934 художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».
Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більше неможливості. Такий трикутник був опублікований в 1958 в одному з британських журналів про психологію.
В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликане статтею про неможливі постаті.
У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових марках Швеції. Тривало це протягом кількох років.
Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона досягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.
Неможливе насправді
Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.
Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.
Виготовлення фігури своїми руками
Трикутник Пенроуз можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.
Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.
Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена згинається деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.
Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.
Малюємо неможливу фігуру
Трикутник Пенроуза також можна намалювати. Спочатку на аркуші малюється простий квадрат. Розмір його немає значення. З основою на нижню сторону квадрата малюється трикутник. У його кутах усередині малюються невеликі прямокутники. Їхні сторони потрібно буде стерти, залишивши лише ті, що є спільними з трикутником. В результаті повинен вийти трикутник із усіченими кутами.
З лівої частини нижнього верхнього кута проводиться пряма лінія. Така ж лінія, але трохи коротша, малюється з нижнього лівого кута. Паралельно основи трикутника проводиться лінія, що виходить із правого кута. Виходить другий вимір.
За принципом другого малюється третій вимір. Тільки у разі всі прямі грунтуються на кути фігури першого, а другого виміру.
Дмитро Раков
Наші очі пізнавати не вміють
природу предметів.
А тому не нав'язуй їм
помилок розуму.
Тіт Лукрецій Кар
Поширений вираз "обман зору" по суті своїй неправильний. Очі не можуть обдурити нас, оскільки є лише проміжною ланкою між об'єктом та мозком людини. Обман зору зазвичай виникає не через те, що ми бачимо, а через те, що несвідомо міркуємо і мимоволі помиляємося: "за допомогою ока, а не оком дивитися на світ уміє розум".
Одним з найефективніших напрямів художнього перебігу оптичного мистецтва (op-art) є імп-арт (imp-art, impossible art), заснований на зображенні неможливих фігур. Неможливі об'єкти є малюнки на площині (будь-яка площина двовимірна), що зображають тривимірні структури, існування яких у реальному тривимірному світі неможливо. Класичною та однією з найпростіших фігур є неможливий трикутник.
У неможливому трикутнику кожен кут сам собою є можливим, але парадокс виникає, коли ми розглядаємо його цілком. Сторони трикутника спрямовані одночасно і до глядача, і від нього, тому окремі частини не можуть утворити реальний тривимірний об'єкт.
Власне, наш мозок інтерпретує малюнок на площині як тривимірну модель. Свідомість задає "глибину", де знаходиться кожна точка зображення. Наші уявлення про реальному світістикаються з протиріччям, з якоюсь непослідовністю, і доводиться робити деякі припущення:
- прямі двовимірні лінії інтерпретуються як прямі тривимірні лінії;
- двовимірні паралельні лінії інтерпретуються як тривимірні паралельні лінії;
- гострі та тупі кути інтерпретуються як прямі кути у перспективі;
- Зовнішні лінії розглядаються як межа форми. Ця зовнішня межа є надзвичайно важливою для побудови повного зображення.
Людська свідомість спочатку створює загальне зображення предмета, та був розглядає окремі частини. Кожен кут сумісний із просторовою перспективою, але, возз'єднавшись, вони утворюють просторовий феномен. Якщо закрити будь-який із кутів трикутника, то неможливість пропадає.
Історія неможливих фігур
Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvärd), який намалював у 1934 р. перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.
 |
 |
|
|
"Москва", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003р. |
Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз знову відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958 р. В ілюзії використана "хибна перспектива". Іноді таку перспективу називають китайською, тому що подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка "двозначна", часто зустрічався у роботах китайських художників.
На малюнку "Три равлики" маленький і великий куби орієнтовані над нормальної ізометричної проекції. Найменший за розмірами куб сполучається з великим по переднім і заднім сторонам, а значить, слідуючи тривимірній логіці, він має такі самі розміри деяких сторін, що і великий. Спочатку малюнок здається реальним уявленням твердого тіла, але принаймні аналізу виявляються логічні протиріччя цього об'єкта.
Малюнок "Три равлики" продовжує традиції другої знаменитої неможливої фігури - неможливого куба (ящика).
 |
 |
|
|
"IQ", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2001р. |
"Вгору і вниз", М. Ешер |
Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (intelligence quotient – коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.
Дональд Е. Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють найкращі математики, вчені та художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до "інтелектуальних математичних ігор". Сучасна наука говорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті. З філософської точки зору вони служать нагадуванням про те, що будь-які явища (у системному аналізі, науці, політиці, економіці тощо) слід розглядати у всіх складних та неочевидних взаємозв'язках.
Різноманітні неможливі (і можливі) об'єкти представлені на картині "Неможливий алфавіт".
Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете по ній безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатись (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера "Вгору і вниз" ("Ascending and Descending").
Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або "чортова вилка".
При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу та приходимо до висновку про неможливість об'єкта.
Чи є якась істотніша користь від неможливих малюнків, ніж гра розуму? У деяких лікарнях спеціально розвішують зображення неможливих об'єктів, оскільки їхнє розглядання здатне надовго зайняти хворих. Логічно було б розвісити такі малюнки в касах, міліції та інших місцях, де очікування своєї черги триває часом цілу вічність. Малюнки могли б у ролі таких " хронофагів " , тобто. пожирачі часу.
Неможлива фігура - один із видів оптичних ілюзій, фігура, що на перший погляд здається проекцією звичайного тривимірного об'єкта,
при уважному розгляді якої стає видно суперечливі з'єднання елементів фігури. Створюється ілюзія неможливості існування такої фігури у тривимірному просторі.
♦♦♦
Неможливі фігури
Найбільш відомі неможливі фігури: неможливий трикутник, нескінченні сходи та неможливий тризуб.
Неможливий трикутник Перроуза
Ілюзія Рейтерсварда (Reutersvard, 1934)
Зверніть увагу також і на те, що зміна організації "фігура-фон" уможливила сприйняття розташованої в центрі "зірки".
_________
Неможливий куб Ешера
Насправді, всі неможливі фігури можуть існувати в реальному світі. Так, всі об'єкти, намальовані на папері, є проекціями тривимірних об'єктів, отже, можна створити такий тривимірний об'єкт, який при проектуванні на площину буде неможливим. При погляді на такий об'єкт з певної точки він буде виглядати неможливим, але при огляді з будь-якої іншої точки ефект неможливості буде губитися.
13-метрова скульптура неможливого трикутника з алюмінію була споруджена у 1999 році у місті Перт (Австралія). Тут неможливий трикутник був зображений у найбільш спільній формі — у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами.
Чортова вилка
Серед усіх неможливих постатей особливе місце займає неможливий тризуб («чортова вилка»). 
Якщо закрити рукою праву частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину – три круглі зуби. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми також побачимо реальну картину – два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.
Таким чином, можна побачити, що передній та задній плани даного малюнка конфліктують. Тобто, що спочатку на передньому плані йде назад, а задній план (середній зуб) вилазить вперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект - плоскі грані правої частини тризубця стають круглими в лівій.
Ефект неможливості досягається за рахунок того, що наш мозок аналізує контур фігури та намагається підрахувати кількість зубців. Мозок порівнює кількість зубців фігури у лівій та правій частині малюнка, через що виникає відчуття неможливості фігури. Якщо кількість зубців у фігури було значно більше (наприклад, 7 або 8), цей парадокс був би менш яскраво виражений.
Деякі книги стверджують, що неможливий тризуб належить до класу неможливих постатей, які можуть бути відтворені у світі. Насправді, це не так. ВСІ неможливі постаті можна побачити в реальному світі, але неможливими вони будуть виглядати лише з одного єдиного погляду.
______________
Неможливий слон
Скільки ніг у слона?
Психолог із Стенфорда Роджер Шепард (Roger Shepard) використав ідею тризубця для своєї картини неможливого слона.
______________
Сходи Пенроуза(нескінченні сходи, неможливі сходи)
Нескінченні сходи - одна з найвідоміших класичних неможливостей.
Являє собою таку конструкцію сходів, при якій у разі руху по ній в одному напрямку (на малюнку до статті проти годинникової стрілки) людина нескінченно підніматиметься, а під час руху у зворотному — постійно спускатиметься.
Іншими словами, перед нами постають сходи, що ведуть, здавалося б, вгору або вниз, але при цьому людина, що крокує нею, не піднімається і не опускається. Завершивши свій візуальний маршрут, він опиниться на початку шляху. Якби вам справді довелося пройти цією драбиною, ви б безцільно піднімалися і спускалися ними нескінченну кількість разів. Можна назвати це нескінченною сизіфовою працею!
Відколи Пенроузи опублікували цю фігуру, вона з'являлася у пресі частіше, ніж будь-який інший неможливий об'єкт. "Нескінченні сходи" можна зустріти в книгах про ігри, головоломки, ілюзії, у підручниках з психології та інших предметів.
«Сходження та сходження»
«Нескінченною лісницею» з успіхом скористався художник Мауріц К. Ешер, цього разу у своїй чарівній літографії «Сходження та сходження», створеної в 1960 році.
У цьому малюнку, що відображає всі можливості фігури Пенроуза, нескінченні сходи, що цілком впізнаються, акуратно вписані в дах монастиря. Ченці в капюшонах безперервно рухаються сходами у напрямку за годинниковою стрілкою та проти неї. Вони йдуть назустріч один одному неможливим шляхом. Їм не вдається ні піднятися нагору, ні спуститися вниз.
Відповідно, «Нескінченні сходи» стали частіше асоціюватися з Ешером, який перемалював її, ніж з Пенроузами, які її вигадали.
Скільки тут полиць?
Куди відчинені двері?
Назовні чи всередину?
Неможливі постаті зрідка з'являлися на полотнах майстрів минулого, наприклад, така шибениця на картині Пітера Брейгеля (Старшого)
«Сорока на шибениці» (1568)
__________
Неможлива арка
Жос де Мей (Jos de Mey) - фламандський художник, навчався у Королівській Академії Художніх Мистецтв у Генті (Бельгія), а потім навчав студентів дизайну інтер'єрів та кольору протягом 39 років. Починаючи з 1968 року, центром його уваги стало малювання. Він найбільш відомий ретельним та реалістичним виконанням неможливих структур.
Найбільш відомі неможливі постаті у роботах художника Моріса Ешера. При розгляді таких малюнків кожна окрема деталь здається цілком правдоподібною, проте при спробі простежити лінію, виявляється, що ця лінія вже, наприклад, не зовнішній кут стіни, а внутрішній.
«Відносність»
Ця літографія голландського художника Ешера вперше була надрукована у 1953 році.
На літографії зображено парадоксальний світ, у якому застосовуються закони реальності. В одному світі об'єднано три реальності, три сили тяжіння спрямовані перпендикулярно одна одній.
Створено архітектурну структуру, реальності об'єднані сходами. Для людей, що живуть у цьому світі, але в різних площинах реальності, самі сходи будуть спрямовані або вгору або вниз.
«Водоспад»
Ця літографія голландського художника Ешера вперше була надрукована у жовтні 1961 року.
У цій роботі Ешера зображений парадокс — вода водоспаду, що падає, керує колесом, яке спрямовує воду на вершину водоспаду. Водоспад має структуру "неможливого" трикутника Пенроуза: літографія була створена за мотивами статті у "Британському журналі психології".
Конструкція складена з трьох перекладин, покладених одна на одну під прямим кутом. Водоспад на літографії працює як вічний двигун. Здається також, що обидві башти однакові; насправді та, що справа, на поверх нижче за ліву вежу.
Ну і сучасніші роботи:о)
Нескінченна фотографія
Дивовижне будівництво
Шахівниця
♦♦♦
Перевернуті картинки
Що ви бачите: величезну ворону зі здобиччю чи рибалки у човні, рибу та острів з деревами?
Распутін та Сталін
Молодість та старість
_________________
Вельможа та Корольова
Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження тому – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще у минулому столітті, він досі часто зустрічається у науковій літературі. І хоч би як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.
Значення трикутника Пенроуза
Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші – просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме "трикутник Пенроуза".
Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму трикутника фігура прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І виготовити таку конструкцію легко.
Історія відкриття
Трикутник Пенроуза був відкритий у далекому 1934 художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».
Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більше неможливості. Такий трикутник був опублікований в 1958 в одному з британських журналів про психологію.
В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликане статтею про неможливі постаті.
У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових марках Швеції. Тривало це протягом кількох років.
Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона досягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.
Неможливе насправді
Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.
Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.
Виготовлення фігури своїми руками
Трикутник Пенроуз можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені малюнки.
Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.
Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена пунктирною лінією. Згинаємо деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.
Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.
